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関数 $f(x) = \frac{x^3}{2} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{2}$ が与えられているとき、$f'(1)$ の値を求めよ。

解析学微分関数の微分導関数
2025/7/18

1. 問題の内容

関数 f(x)=x32+1x2−12f(x) = \frac{x^3}{2} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{2} が与えられているとき、f′(1)f'(1) の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 f(x)f(x) を微分して f′(x)f'(x) を求める。
f(x)f(x) は f(x)=12x3+x−2−12f(x) = \frac{1}{2}x^3 + x^{-2} - \frac{1}{2} と書き直せる。
f′(x)=12⋅3x2+(−2)x−3−0f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 3x^2 + (-2)x^{-3} - 0
f′(x)=32x2−2x−3f'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2x^{-3}
f′(x)=32x2−2x3f'(x) = \frac{3}{2}x^2 - \frac{2}{x^3}
次に、x=1x=1 を代入して f′(1)f'(1) を計算する。
f′(1)=32(1)2−2(1)3f'(1) = \frac{3}{2}(1)^2 - \frac{2}{(1)^3}
f′(1)=32−2f'(1) = \frac{3}{2} - 2
f′(1)=32−42f'(1) = \frac{3}{2} - \frac{4}{2}
f′(1)=−12f'(1) = -\frac{1}{2}

3. 最終的な答え

f′(1)=−12f'(1) = -\frac{1}{2}

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