$\int \frac{3}{2x-1} dx$ を計算します。

画像にある積分の問題について、個別に解答します。

**(1) $\int \frac{3}{2x-1} dx$**

1. 問題の内容

$\int \frac{3}{2x-1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

定数3を積分の外に出します。

$\int \frac{1}{2x-1} dx$ を計算するために、$u = 2x - 1$ と置換します。すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{2x-1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|2x-1| + C$

元の積分に戻すと

$\int \frac{3}{2x-1} dx = 3 \int \frac{1}{2x-1} dx = 3 \cdot \frac{1}{2} \ln|2x-1| + C = \frac{3}{2} \ln|2x-1| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2} \ln|2x-1| + C$

**(2) $\int \frac{8x-2}{2x^2 - x + 2} dx$**

1. 問題の内容

$\int \frac{8x-2}{2x^2 - x + 2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$u = 2x^2 - x + 2$ と置換します。すると、$du = (4x - 1) dx$ となります。

分子は$8x - 2 = 2(4x - 1)$ なので、

$\int \frac{8x-2}{2x^2 - x + 2} dx = \int \frac{2(4x-1)}{2x^2 - x + 2} dx = 2 \int \frac{4x-1}{2x^2 - x + 2} dx = 2 \int \frac{1}{u} du = 2 \ln|u| + C = 2 \ln|2x^2 - x + 2| + C$

3. 最終的な答え

$2 \ln|2x^2 - x + 2| + C$

**(3) $\int \frac{1}{x \log x} dx$**

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{x \log x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$u = \log x$ と置換します。すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|\log x| + C$

3. 最終的な答え

$\ln|\log x| + C$

**(4) $\int \frac{\cos x}{\sin x} dx$**

1. 問題の内容

$\int \frac{\cos x}{\sin x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$u = \sin x$ と置換します。すると、$du = \cos x dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|\sin x| + C$

3. 最終的な答え

$\ln|\sin x| + C$

**(5) $\int (2x^2 - x + 2)(8x - 2) dx$**

1. 問題の内容

$\int (2x^2 - x + 2)(8x - 2) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(2x^2 - x + 2)(8x - 2) = 16x^3 - 4x^2 - 8x^2 + 2x + 16x - 4 = 16x^3 - 12x^2 + 18x - 4$

次に、積分を計算します。

$\int (16x^3 - 12x^2 + 18x - 4) dx = 16 \int x^3 dx - 12 \int x^2 dx + 18 \int x dx - 4 \int dx = 16 \cdot \frac{x^4}{4} - 12 \cdot \frac{x^3}{3} + 18 \cdot \frac{x^2}{2} - 4x + C = 4x^4 - 4x^3 + 9x^2 - 4x + C$

3. 最終的な答え

$4x^4 - 4x^3 + 9x^2 - 4x + C$

**(6) $\int \frac{\log x}{x} dx$**

1. 問題の内容

$\int \frac{\log x}{x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$u = \log x$ と置換します。すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{\log x}{x} dx = \int \log x \cdot \frac{1}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\log x)^2}{2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{(\log x)^2}{2} + C$