## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

一つ目の問題は、点 $C(1, -1)$ から関数 $y = x^2 - x$ のグラフに引いた接線の方程式を求める問題です。

二つ目の問題は、点 $P$ が放物線 $y = -x^2$ 上にあり、点 $Q(-5, 1)$ と点 $P$ を通る直線が、点 $P$ における放物線 $y = -x^2$ の接線と直交するとき、点 $P$ の座標を求める問題です。

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2. 解き方の手順

### 一つ目の問題：

1. **接点の仮定:** 求める接線の接点を $(t, t^2 - t)$ とおきます。

2. **微分:** 関数 $y = x^2 - x$ を微分すると、$y' = 2x - 1$ となります。

3. **接線の傾き:** 接点 $(t, t^2 - t)$ における接線の傾きは、$2t - 1$ です。

4. **接線の方程式:** 接線の方程式は、$y - (t^2 - t) = (2t - 1)(x - t)$ と表されます。

5. **点の代入:** 接線が点 $C(1, -1)$ を通るので、接線の方程式に $x = 1$, $y = -1$ を代入します。

$-1 - (t^2 - t) = (2t - 1)(1 - t)$

6. **tの計算:** 上の式を整理して、$t$ について解きます。

$-1 - t^2 + t = 2t - 1 - 2t^2 + t$

$t^2 - 2t = 0$

$t(t - 2) = 0$

よって、$t = 0, 2$ となります。

7. **接線の方程式を求める:** $t = 0$ のとき、接点は $(0, 0)$ で、接線の傾きは $-1$ なので、接線の方程式は $y = -x$ です。

$t = 2$ のとき、接点は $(2, 2)$ で、接線の傾きは $3$ なので、接線の方程式は $y - 2 = 3(x - 2)$ より $y = 3x - 4$ です。

### 二つ目の問題：

1. **点Pの仮定:** 点 $P$ の座標を $(t, -t^2)$ とおきます。

2. **微分:** 関数 $y = -x^2$ を微分すると、$y' = -2x$ となります。

3. **接線の傾き:** 点 $P(t, -t^2)$ における接線の傾きは、$-2t$ です。

4. **直線PQの傾き:** 点 $Q(-5, 1)$ と点 $P(t, -t^2)$ を通る直線の傾きは、$\frac{-t^2 - 1}{t - (-5)} = \frac{-t^2 - 1}{t + 5}$ です。

5. **直交条件:** 接線と直線 $PQ$ が直交するので、それらの傾きの積は $-1$ となります。

$(-2t) \cdot \frac{-t^2 - 1}{t + 5} = -1$

6. **tの計算:** 上の式を整理して、$t$ について解きます。

$2t(t^2 + 1) = -(t + 5)$

$2t^3 + 2t = -t - 5$

$2t^3 + 3t + 5 = 0$

$(t + 1)(2t^2 - 2t + 5) = 0$

$t = -1$ のみが実数解となります（$2t^2 - 2t + 5 = 0$ は判別式が負なので実数解を持ちません）。

7. **Pの座標を求める:** $t = -1$ なので、点 $P$ の座標は $(-1, -(-1)^2) = (-1, -1)$ です。

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3. 最終的な答え

一つ目の問題の答え：

$y = -x$ および $y = 3x - 4$

二つ目の問題の答え：

$P(-1, -1)$