問題は2つあります。 (1) 点C(1, -1)から関数 $y = x^2 - x$ のグラフに引いた接線の方程式を求める。 (2) Pを放物線 $y = -x^2$ 上の点とし、Qを点(-5, 1)とする。2点P, Qを通る直線が、点Pにおける接線と直交しているときの点Pの座標を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 点C(1, -1)から関数 $y = x^2 - x$ のグラフに引いた接線の方程式を求める。

(2) Pを放物線 $y = -x^2$ 上の点とし、Qを点(-5, 1)とする。2点P, Qを通る直線が、点Pにおける接線と直交しているときの点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点C(1, -1)から関数 $y = x^2 - x$ のグラフに引いた接線の方程式を求める。

* 接点を $(t, t^2 - t)$ と置く。

* $y = x^2 - x$ を微分すると、$y' = 2x - 1$。

* 接線の方程式は $y - (t^2 - t) = (2t - 1)(x - t)$。

* 点C(1, -1)を通るので、$-1 - (t^2 - t) = (2t - 1)(1 - t)$。

* これを解くと、$-1 - t^2 + t = 2t - 1 - 2t^2 + t$。

* $t^2 - 2t = 0$ より、$t(t - 2) = 0$。

* よって、$t = 0$ または $t = 2$。

* $t = 0$ のとき、接点は(0, 0)で、接線は $y = -x$。

* $t = 2$ のとき、接点は(2, 2)で、接線は $y - 2 = 3(x - 2)$、つまり、$y = 3x - 4$。

(2) Pを放物線 $y = -x^2$ 上の点とし、Qを点(-5, 1)とする。2点P, Qを通る直線が、点Pにおける接線と直交しているときの点Pの座標を求める。

* Pの座標を $(t, -t^2)$ とおく。

* $y = -x^2$ を微分すると、$y' = -2x$。

* 点Pにおける接線の傾きは $-2t$。

* 点Pと点Qを通る直線の傾きは $\frac{-t^2 - 1}{t - (-5)} = \frac{-t^2 - 1}{t + 5}$。

* 2直線が直交するので、傾きの積は-1。

$(-2t) \times \frac{-t^2 - 1}{t + 5} = -1$。

$2t(-t^2 - 1) = t + 5$

$-2t^3 - 2t = t + 5$

$2t^3 + 3t + 5 = 0$

$(t+1)(2t^2-2t+5)=0$

$t = -1$

* $t = -1$ のとき、Pの座標は $(-1, -1)$。

* $2t^2 - 2t + 5 = 0$ は実数解を持たない。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x$ と $y = 3x - 4$

(2) $(-1, -1)$