漸化式を利用して、不定積分 $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

漸化式を利用して、不定積分 $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$I_n = \int \frac{dx}{(x^2+1)^n}$ と定義する。部分積分を用いて$I_n$ の漸化式を導く。

$I_n = \int \frac{1}{(x^2+1)^n} dx = \int \frac{x^2+1}{(x^2+1)^n} dx - \int \frac{x^2}{(x^2+1)^n} dx = I_{n-1} - \int x \cdot \frac{x}{(x^2+1)^n} dx$

$\int x \cdot \frac{x}{(x^2+1)^n} dx$ を部分積分する。

$u=x$, $dv = \frac{x}{(x^2+1)^n}dx$ とすると, $du = dx$, $v = \int \frac{x}{(x^2+1)^n}dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{(x^2+1)^n}dx = \frac{1}{2} \frac{(x^2+1)^{-n+1}}{-n+1} = \frac{1}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}}$

従って、

$\int x \cdot \frac{x}{(x^2+1)^n} dx = x \cdot \frac{1}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} - \int \frac{1}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} dx = \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} - \frac{1}{2(1-n)} \int \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}dx = \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} - \frac{1}{2(1-n)}I_{n-1}$

したがって、

$I_n = I_{n-1} - \left[ \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} - \frac{1}{2(1-n)}I_{n-1} \right] = I_{n-1} - \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} + \frac{1}{2(1-n)}I_{n-1}$

$I_n = \frac{2(1-n)+1}{2(1-n)} I_{n-1} - \frac{x}{2(1-n)(x^2+1)^{n-1}} = \frac{3-2n}{2(1-n)} I_{n-1} + \frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}}$

$I_n = \frac{2n-3}{2n-2}I_{n-1} + \frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}}$

$n=2$ のとき、

$I_2 = \frac{2(2)-3}{2(2)-2}I_{2-1} + \frac{x}{2(2-1)(x^2+1)^{2-1}} = \frac{1}{2}I_1 + \frac{x}{2(x^2+1)}$

$I_1 = \int \frac{1}{x^2+1} dx = \arctan x + C$

従って、

$I_2 = \frac{1}{2} \arctan x + \frac{x}{2(x^2+1)} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{dx}{(x^2+1)^2} = \frac{1}{2} \arctan x + \frac{x}{2(x^2+1)} + C$