$xy$座標平面において、関数 $y = \ln(3x - 7)$ ($x > \frac{7}{3}$)のグラフと、直線 $x = 4$、および$x$軸で囲まれた領域$D$の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

$xy$座標平面において、関数 $y = \ln(3x - 7)$ ($x > \frac{7}{3}$)のグラフと、直線 $x = 4$、および$x$軸で囲まれた領域$D$の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \ln(3x - 7)$と$x$軸との交点を求めます。交点では$y = 0$なので、

$\ln(3x - 7) = 0$

$3x - 7 = e^0 = 1$

$3x = 8$

$x = \frac{8}{3}$

したがって、積分区間は$\frac{8}{3} \le x \le 4$ となります。

領域$D$の面積は、定積分で求めることができます。ただし、$y = \ln(3x-7)$は$x$軸より下にあるので、積分の結果にマイナスをかけます。

$D = -\int_{\frac{8}{3}}^{4} \ln(3x - 7) dx$

ここで、部分積分を行います。$u = \ln(3x - 7)$、$dv = dx$とおくと、$du = \frac{3}{3x - 7} dx$、$v = x$となります。

$-\int_{\frac{8}{3}}^{4} \ln(3x - 7) dx = -\left[ x\ln(3x - 7) \right]_{\frac{8}{3}}^{4} + \int_{\frac{8}{3}}^{4} \frac{3x}{3x - 7} dx$

$= -\left[ 4\ln(12 - 7) - \frac{8}{3}\ln(8 - 7) \right] + \int_{\frac{8}{3}}^{4} \frac{3x - 7 + 7}{3x - 7} dx$

$= -4\ln(5) + \int_{\frac{8}{3}}^{4} \left( 1 + \frac{7}{3x - 7} \right) dx$

$= -4\ln(5) + \left[ x + \frac{7}{3}\ln(3x - 7) \right]_{\frac{8}{3}}^{4}$

$= -4\ln(5) + \left[ 4 + \frac{7}{3}\ln(5) - \frac{8}{3} - \frac{7}{3}\ln(1) \right]$

$= -4\ln(5) + 4 + \frac{7}{3}\ln(5) - \frac{8}{3}$

$= -4\ln(5) + \frac{12}{3} + \frac{7}{3}\ln(5) - \frac{8}{3}$

$= \frac{4}{3} + \left( \frac{7}{3} - 4 \right)\ln(5)$

$= \frac{4}{3} + \left( \frac{7}{3} - \frac{12}{3} \right)\ln(5)$

$= \frac{4}{3} - \frac{5}{3}\ln(5)$

3. 最終的な答え

領域Dの面積は$\frac{4}{3} - \frac{5}{3}\ln(5)$です。