$\int_0^u \frac{\sin(4x)}{e^{3x}} dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\int_0^u \frac{\sin(4x)}{e^{3x}} dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、積分を $\int_0^u e^{-3x} \sin(4x) dx$ と書き換えます。

部分積分を2回行います。

1回目の部分積分：

$I = \int e^{-3x} \sin(4x) dx$

$f(x) = \sin(4x)$, $g'(x) = e^{-3x}$ とおくと、

$f'(x) = 4\cos(4x)$, $g(x) = -\frac{1}{3}e^{-3x}$ となるので、

$I = -\frac{1}{3}e^{-3x}\sin(4x) - \int (-\frac{1}{3}e^{-3x}) (4\cos(4x)) dx$

$I = -\frac{1}{3}e^{-3x}\sin(4x) + \frac{4}{3} \int e^{-3x} \cos(4x) dx$

2回目の部分積分：

$J = \int e^{-3x} \cos(4x) dx$

$f(x) = \cos(4x)$, $g'(x) = e^{-3x}$ とおくと、

$f'(x) = -4\sin(4x)$, $g(x) = -\frac{1}{3}e^{-3x}$ となるので、

$J = -\frac{1}{3}e^{-3x}\cos(4x) - \int (-\frac{1}{3}e^{-3x}) (-4\sin(4x)) dx$

$J = -\frac{1}{3}e^{-3x}\cos(4x) - \frac{4}{3} \int e^{-3x} \sin(4x) dx$

$J = -\frac{1}{3}e^{-3x}\cos(4x) - \frac{4}{3} I$

$I = -\frac{1}{3}e^{-3x}\sin(4x) + \frac{4}{3} J$ に $J$ を代入する。

$I = -\frac{1}{3}e^{-3x}\sin(4x) + \frac{4}{3} (-\frac{1}{3}e^{-3x}\cos(4x) - \frac{4}{3} I)$

$I = -\frac{1}{3}e^{-3x}\sin(4x) - \frac{4}{9}e^{-3x}\cos(4x) - \frac{16}{9} I$

$I + \frac{16}{9} I = -\frac{1}{3}e^{-3x}\sin(4x) - \frac{4}{9}e^{-3x}\cos(4x)$

$\frac{25}{9} I = -\frac{1}{3}e^{-3x}\sin(4x) - \frac{4}{9}e^{-3x}\cos(4x)$

$I = \frac{9}{25} (-\frac{1}{3}e^{-3x}\sin(4x) - \frac{4}{9}e^{-3x}\cos(4x))$

$I = -\frac{3}{25}e^{-3x}\sin(4x) - \frac{4}{25}e^{-3x}\cos(4x)$

$I = -\frac{1}{25}e^{-3x} (3\sin(4x) + 4\cos(4x))$

$\int_0^u e^{-3x} \sin(4x) dx = [-\frac{1}{25}e^{-3x} (3\sin(4x) + 4\cos(4x))]_0^u$

$= -\frac{1}{25}e^{-3u} (3\sin(4u) + 4\cos(4u)) - (-\frac{1}{25}e^0 (3\sin(0) + 4\cos(0)))$

$= -\frac{1}{25}e^{-3u} (3\sin(4u) + 4\cos(4u)) + \frac{4}{25}$

$= \frac{4}{25} - \frac{e^{-3u}}{25} (3\sin(4u) + 4\cos(4u))$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{25} - \frac{e^{-3u}}{25}(3\sin(4u) + 4\cos(4u))$