定積分 $\int_0^1 (3x+1)^4 dx$ の値を、$t=3x+1$ と置換することによって求め、$\frac{ア}{5}$の形で表したときの$ア$の値を求める。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 (3x+1)^4 dx$ の値を、$t=3x+1$ と置換することによって求め、$\frac{ア}{5}$の形で表したときの$ア$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$t=3x+1$とおくと、$dt = 3dx$ より、$dx = \frac{1}{3}dt$となる。

積分範囲も変更する必要がある。$x=0$ のとき、$t=3(0)+1=1$、$x=1$ のとき、$t=3(1)+1=4$ となる。

よって、定積分は次のように書き換えられる。

$\int_0^1 (3x+1)^4 dx = \int_1^4 t^4 \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int_1^4 t^4 dt$

$\int t^4 dt = \frac{t^5}{5}$ であるから、

$\frac{1}{3} \int_1^4 t^4 dt = \frac{1}{3} \left[ \frac{t^5}{5} \right]_1^4 = \frac{1}{3} \left( \frac{4^5}{5} - \frac{1^5}{5} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1023}{5} = \frac{1023}{15} = \frac{341}{5}$

したがって、$ア=341$ となる。

3. 最終的な答え

341