与えられた積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin 4x}{e^{3x}} dx$ の値を求めよ。これは、$\int_{0}^{\infty} e^{-3x} \sin 4x dx$ とも書けます。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin 4x}{e^{3x}} dx$ の値を求めよ。これは、$\int_{0}^{\infty} e^{-3x} \sin 4x dx$ とも書けます。

2. 解き方の手順

この積分は、指数関数と三角関数の積の積分であるため、部分積分を2回行うことで解くことができます。

まず、$I = \int_{0}^{\infty} e^{-3x} \sin 4x \, dx$ とおきます。

1回目の部分積分:

$u = \sin 4x$, $dv = e^{-3x} dx$ とすると、

$du = 4 \cos 4x dx$, $v = -\frac{1}{3}e^{-3x}$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\infty} e^{-3x} \sin 4x \, dx = \left[-\frac{1}{3}e^{-3x} \sin 4x \right]_{0}^{\infty} + \frac{4}{3} \int_{0}^{\infty} e^{-3x} \cos 4x \, dx$

$= 0 + \frac{4}{3} \int_{0}^{\infty} e^{-3x} \cos 4x \, dx$

$= \frac{4}{3} \int_{0}^{\infty} e^{-3x} \cos 4x \, dx$

2回目の部分積分:

$u = \cos 4x$, $dv = e^{-3x} dx$ とすると、

$du = -4 \sin 4x dx$, $v = -\frac{1}{3}e^{-3x}$ となります。

$\int_{0}^{\infty} e^{-3x} \cos 4x \, dx = \left[-\frac{1}{3}e^{-3x} \cos 4x \right]_{0}^{\infty} - \frac{4}{3} \int_{0}^{\infty} e^{-3x} \sin 4x \, dx$

$= \left(0 - (-\frac{1}{3})\right) - \frac{4}{3} \int_{0}^{\infty} e^{-3x} \sin 4x \, dx$

$= \frac{1}{3} - \frac{4}{3} I$

したがって、

$I = \frac{4}{3} \left( \frac{1}{3} - \frac{4}{3} I \right) = \frac{4}{9} - \frac{16}{9} I$

$I + \frac{16}{9} I = \frac{4}{9}$

$\frac{25}{9} I = \frac{4}{9}$

$I = \frac{4}{25}$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin 4x}{e^{3x}} dx = \frac{4}{25}$