不定積分 $\int xe^{2x} dx$ を求め、$\frac{1}{4}(Ax + B)e^{2x} + C$ の形式で答えよ。ここで、AとBの値を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int xe^{2x} dx$ を求め、$\frac{1}{4}(Ax + B)e^{2x} + C$ の形式で答えよ。ここで、AとBの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を使って積分を計算します。部分積分の公式は、$\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = x$ と $dv = e^{2x} dx$ とおくと、

$du = dx$ と $v = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$ となります。

したがって、

$\int xe^{2x} dx = x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} dx$

$= \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} dx$

$= \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + C$

$= \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$

$= \frac{1}{4}(2x - 1)e^{2x} + C$

問題で与えられた形式 $\frac{1}{4}(Ax + B)e^{2x} + C$ と比較すると、

$A = 2$

$B = -1$

となります。

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = -1