半径2の球に内接する直円柱があり、その高さが $x$ である。 (1) 直円柱の体積 $V$ を $x$ の式で表せ。 (2) $V$ が最大になるときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

半径2の球に内接する直円柱があり、その高さが $x$ である。

(1) 直円柱の体積 $V$ を $x$ の式で表せ。

(2) $V$ が最大になるときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直円柱の体積 $V$ を $x$ の式で表す。

直円柱の底面の半径を $r$ とすると、三平方の定理より

$r^2 + (\frac{x}{2})^2 = 2^2$

$r^2 = 4 - \frac{x^2}{4}$

直円柱の体積 $V$ は、

$V = \pi r^2 x = \pi (4 - \frac{x^2}{4}) x = \pi (4x - \frac{x^3}{4})$

(2) $V$ が最大になるときの $x$ の値を求める。

$V(x) = \pi(4x - \frac{x^3}{4})$ を $x$ で微分する。

$\frac{dV}{dx} = \pi (4 - \frac{3x^2}{4})$

$\frac{dV}{dx} = 0$ となる $x$ を求める。

$4 - \frac{3x^2}{4} = 0$

$\frac{3x^2}{4} = 4$

$3x^2 = 16$

$x^2 = \frac{16}{3}$

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$

$x>0$ より、$x = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

$x = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ の前後で $\frac{dV}{dx}$ の符号を調べると、

$0 < x < \frac{4\sqrt{3}}{3}$ のとき、$\frac{dV}{dx} > 0$

$\frac{4\sqrt{3}}{3} < x < 4$ のとき、$\frac{dV}{dx} < 0$

したがって、$x = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ のとき、$V$ は最大になる。

3. 最終的な答え

(1) $V = \pi (4x - \frac{x^3}{4})$

(2) $x = \frac{4\sqrt{3}}{3}$