与えられた積分 $\int (x+1)(2x+3)^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (x+1)(2x+3)^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$

$(x+1)(4x^2 + 12x + 9) = 4x^3 + 12x^2 + 9x + 4x^2 + 12x + 9 = 4x^3 + 16x^2 + 21x + 9$

したがって、

$\int (x+1)(2x+3)^2 dx = \int (4x^3 + 16x^2 + 21x + 9) dx$

次に、各項を積分します。

$\int 4x^3 dx = x^4$

$\int 16x^2 dx = \frac{16}{3}x^3$

$\int 21x dx = \frac{21}{2}x^2$

$\int 9 dx = 9x$

したがって、

$\int (4x^3 + 16x^2 + 21x + 9) dx = x^4 + \frac{16}{3}x^3 + \frac{21}{2}x^2 + 9x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$x^4 + \frac{16}{3}x^3 + \frac{21}{2}x^2 + 9x + C$