定積分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{2}{3}\pi} \frac{dx}{1+\cos x + \sin x}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{2}{3}\pi} \frac{dx}{1+\cos x + \sin x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = \tan\frac{x}{2}$ と置換します。このとき、

$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

$dx = \frac{2}{1+t^2} dt$

となります。

積分区間も変更する必要があります。

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$t = \tan \frac{\pi}{4} = 1$

$x = \frac{2\pi}{3}$ のとき、$t = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt = \int_1^{\sqrt{3}} \frac{2}{1+t^2+1-t^2+2t} dt = \int_1^{\sqrt{3}} \frac{2}{2+2t} dt = \int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+t} dt$

$\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+t} dt = [\ln|1+t|]_1^{\sqrt{3}} = \ln(1+\sqrt{3}) - \ln(2) = \ln(\frac{1+\sqrt{3}}{2})$

3. 最終的な答え

$\ln(\frac{1+\sqrt{3}}{2})$