次の不定積分を計算する問題です。 $\int (x+1)(2x+3)^2 dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算する問題です。

$\int (x+1)(2x+3)^2 dx$

2. 解き方の手順

まず、$(2x+3)^2$を展開します。

$(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$

次に、被積分関数全体を展開します。

$(x+1)(4x^2 + 12x + 9) = x(4x^2 + 12x + 9) + 1(4x^2 + 12x + 9) = 4x^3 + 12x^2 + 9x + 4x^2 + 12x + 9 = 4x^3 + 16x^2 + 21x + 9$

したがって、求める積分は

$\int (4x^3 + 16x^2 + 21x + 9) dx = \int 4x^3 dx + \int 16x^2 dx + \int 21x dx + \int 9 dx$

各項を積分します。

$\int 4x^3 dx = 4 \int x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$

$\int 16x^2 dx = 16 \int x^2 dx = 16 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{16}{3}x^3$

$\int 21x dx = 21 \int x dx = 21 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{21}{2}x^2$

$\int 9 dx = 9x$

積分定数 $C$ を加えるのを忘れないようにします。

3. 最終的な答え

$\int (x+1)(2x+3)^2 dx = x^4 + \frac{16}{3}x^3 + \frac{21}{2}x^2 + 9x + C$