次の2つの定積分を計算します。 (1) $\int_0^1 (x^3 - 1)^4 x^2 dx$ (2) $\int_{-2}^{-1} \frac{e^{-x}}{e^{-x} - 1} dx$

1. 問題の内容

次の2つの定積分を計算します。

(1) $\int_0^1 (x^3 - 1)^4 x^2 dx$

(2) $\int_{-2}^{-1} \frac{e^{-x}}{e^{-x} - 1} dx$

2. 解き方の手順

(1) 定積分 $\int_0^1 (x^3 - 1)^4 x^2 dx$ を計算する。

$u = x^3 - 1$ と置換すると、$du = 3x^2 dx$ となる。よって、$x^2 dx = \frac{1}{3} du$ となる。

積分区間は、$x = 0$ のとき $u = 0^3 - 1 = -1$、$x = 1$ のとき $u = 1^3 - 1 = 0$ となる。

したがって、

$\int_0^1 (x^3 - 1)^4 x^2 dx = \int_{-1}^0 u^4 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int_{-1}^0 u^4 du$

$= \frac{1}{3} \left[ \frac{u^5}{5} \right]_{-1}^0 = \frac{1}{3} \left( \frac{0^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} \right) = \frac{1}{3} \left( 0 - \frac{-1}{5} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$

(2) 定積分 $\int_{-2}^{-1} \frac{e^{-x}}{e^{-x} - 1} dx$ を計算する。

$u = e^{-x} - 1$ と置換すると、$du = -e^{-x} dx$ となる。よって、$e^{-x} dx = -du$ となる。

積分区間は、$x = -2$ のとき $u = e^{-(-2)} - 1 = e^2 - 1$、$x = -1$ のとき $u = e^{-(-1)} - 1 = e - 1$ となる。

したがって、

$\int_{-2}^{-1} \frac{e^{-x}}{e^{-x} - 1} dx = \int_{e^2 - 1}^{e - 1} \frac{1}{u} (-du) = - \int_{e^2 - 1}^{e - 1} \frac{1}{u} du$

$= - \left[ \ln |u| \right]_{e^2 - 1}^{e - 1} = - \left( \ln |e - 1| - \ln |e^2 - 1| \right) = - \left( \ln (e - 1) - \ln ((e - 1)(e + 1)) \right)$

$= - \left( \ln (e - 1) - \ln (e - 1) - \ln (e + 1) \right) = \ln (e + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{15}$

(2) $\ln(e + 1)$