(1) 関数 $f(x, y) = \log_y x$ について、点 $(3, e^2)$ における偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ の値を求める。 (2) 関数 $f(x, y) = x^y$ について、点 $(1, e)$ における偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と二階偏微分 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x, y) = \log_y x$ について、点 $(3, e^2)$ における偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ の値を求める。

(2) 関数 $f(x, y) = x^y$ について、点 $(1, e)$ における偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と二階偏微分 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x, y) = \log_y x = \frac{\ln x}{\ln y}$ と書き換えます。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\ln y} \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \ln x \cdot (-\frac{1}{(\ln y)^2}) \cdot \frac{1}{y} = -\frac{\ln x}{y (\ln y)^2}$

点 $(3, e^2)$ において、$\ln y = \ln e^2 = 2$ なので、

$\frac{\partial f}{\partial x}(3, e^2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

$\frac{\partial f}{\partial y}(3, e^2) = -\frac{\ln 3}{e^2 (2)^2} = -\frac{\ln 3}{4e^2}$

(2)

$f(x, y) = x^y$

$\frac{\partial f}{\partial x} = yx^{y-1}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = y(y-1)x^{y-2}$

点 $(1, e)$ において、

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, e) = e(1)^{e-1} = e$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1, e) = e(e-1)(1)^{e-2} = e(e-1) = e^2 - e$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial f}{\partial x}(3, e^2) = \frac{1}{6}$, $\frac{\partial f}{\partial y}(3, e^2) = -\frac{\ln 3}{4e^2}$

(2) $\frac{\partial f}{\partial x}(1, e) = e$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1, e) = e^2 - e$