次の図形の表面積を求めます。 (1) 放物線 $y = \sqrt{x} \ (0 \le x \le 1)$ を $x$軸のまわりに1回転した回転体の表面積 (2) 曲線 $y = \cosh{x} \ (0 \le x \le 1)$ を $x$軸のまわりに1回転した回転体の表面積

1. 問題の内容

次の図形の表面積を求めます。

(1) 放物線 $y = \sqrt{x} \ (0 \le x \le 1)$ を $x$軸のまわりに1回転した回転体の表面積

(2) 曲線 $y = \cosh{x} \ (0 \le x \le 1)$ を $x$軸のまわりに1回転した回転体の表面積

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{x}$ を $x$ 軸のまわりに回転させた回転体の表面積を求めます。

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

回転体の表面積 $S$ は、

$S = 2\pi \int_{0}^{1} y \sqrt{1 + (y')^2} dx = 2\pi \int_{0}^{1} \sqrt{x} \sqrt{1 + (\frac{1}{2\sqrt{x}})^2} dx = 2\pi \int_{0}^{1} \sqrt{x} \sqrt{1 + \frac{1}{4x}} dx$

$= 2\pi \int_{0}^{1} \sqrt{x + \frac{1}{4}} dx = 2\pi [\frac{2}{3} (x + \frac{1}{4})^{3/2}]_{0}^{1} = \frac{4\pi}{3} [(\frac{5}{4})^{3/2} - (\frac{1}{4})^{3/2}]$

$= \frac{4\pi}{3} [\frac{5\sqrt{5}}{8} - \frac{1}{8}] = \frac{\pi}{6}(5\sqrt{5} - 1)$

(2) $y = \cosh{x}$ を $x$ 軸のまわりに回転させた回転体の表面積を求めます。

$y' = \sinh{x}$

回転体の表面積 $S$ は、

$S = 2\pi \int_{0}^{1} y \sqrt{1 + (y')^2} dx = 2\pi \int_{0}^{1} \cosh{x} \sqrt{1 + (\sinh{x})^2} dx$

ここで、$1 + \sinh^2{x} = \cosh^2{x}$ であるから、

$S = 2\pi \int_{0}^{1} \cosh{x} \sqrt{\cosh^2{x}} dx = 2\pi \int_{0}^{1} \cosh^2{x} dx$

$\cosh^2{x} = \frac{1 + \cosh{2x}}{2}$ であるから、

$S = 2\pi \int_{0}^{1} \frac{1 + \cosh{2x}}{2} dx = \pi \int_{0}^{1} (1 + \cosh{2x}) dx$

$= \pi [x + \frac{1}{2}\sinh{2x}]_{0}^{1} = \pi [1 + \frac{1}{2}\sinh{2}]$

$= \pi [1 + \frac{e^2 - e^{-2}}{4}]$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5} - 1)$

(2) $\pi(1 + \frac{\sinh{2}}{2})$