$x-1 = \sqrt{3} \tan \theta$ の置換を利用して、定積分 $I = \int_1^4 \frac{x+1}{x^2 - 2x + 4} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x-1 = \sqrt{3} \tan \theta$ の置換を利用して、定積分 $I = \int_1^4 \frac{x+1}{x^2 - 2x + 4} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x-1 = \sqrt{3} \tan \theta$ より、$x = \sqrt{3} \tan \theta + 1$ です。したがって、$dx = \sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta$ となります。

また、$x^2 - 2x + 4 = (x-1)^2 + 3 = (\sqrt{3}\tan \theta)^2 + 3 = 3\tan^2 \theta + 3 = 3\sec^2 \theta$ となります。

次に、積分範囲を変換します。

$x = 1$ のとき、$\sqrt{3} \tan \theta + 1 = 1$ より、$\tan \theta = 0$ となり、$\theta = 0$ です。

$x = 4$ のとき、$\sqrt{3} \tan \theta + 1 = 4$ より、$\sqrt{3} \tan \theta = 3$ となり、$\tan \theta = \sqrt{3}$ となり、$\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

よって、

$$I = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{3} \tan \theta + 1 + 1}{3 \sec^2 \theta} \sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{3} \tan \theta + 2}{3} \sqrt{3} d\theta$$

$$= \int_0^{\frac{\pi}{3}} (\tan \theta + \frac{2}{\sqrt{3}}) d\theta = [\ln|\sec \theta| + \frac{2}{\sqrt{3}}\theta]_0^{\frac{\pi}{3}}$$

$$= (\ln|\sec \frac{\pi}{3}| + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{3}) - (\ln|\sec 0| + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 0) = \ln 2 + \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} - \ln 1 - 0$$

$$= \ln 2 + \frac{2\sqrt{3}\pi}{9}$$

3. 最終的な答え

$\ln 2 + \frac{2\sqrt{3}\pi}{9}$