与えられた2つの2階線形同次微分方程式を、初期条件のもとで解く問題です。どちらの問題もラプラス変換を用いて解くことが想定されています。 (1) $y'' + y' + y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 1$ (2) $y'' + 3y' + 2y = 0$, $y(0) = y_0$, $y'(0) = v_0$

1. 問題の内容

与えられた2つの2階線形同次微分方程式を、初期条件のもとで解く問題です。どちらの問題もラプラス変換を用いて解くことが想定されています。

(1) $y'' + y' + y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 1$

(2) $y'' + 3y' + 2y = 0$, $y(0) = y_0$, $y'(0) = v_0$

2. 解き方の手順

**(1) の解法**

1. ラプラス変換

$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$とすると、各項のラプラス変換は次のようになります。

$\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s) - s - 1$

$\mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0) = sY(s) - 1$

$\mathcal{L}\{y\} = Y(s)$

したがって、微分方程式のラプラス変換は次のようになります。

$s^2Y(s) - s - 1 + sY(s) - 1 + Y(s) = 0$

2. $Y(s)$ について解く

$(s^2 + s + 1)Y(s) = s + 2$

$Y(s) = \frac{s+2}{s^2 + s + 1}$

3. 逆ラプラス変換

$Y(s) = \frac{s+2}{(s + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} = \frac{s + \frac{1}{2}}{(s + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} + \frac{\frac{3}{2}}{(s + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{s + \frac{1}{2}}{(s + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{(s + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$

逆ラプラス変換を行うと、次のようになります。

$y(t) = e^{-\frac{1}{2}t}\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t) + \sqrt{3}e^{-\frac{1}{2}t}\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)$

$y(t) = e^{-\frac{t}{2}}\left(\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right) + \sqrt{3}\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)\right)$

**(2) の解法**

1. ラプラス変換

$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$とすると、各項のラプラス変換は次のようになります。

$\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s) - sy_0 - v_0$

$\mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0) = sY(s) - y_0$

$\mathcal{L}\{y\} = Y(s)$

したがって、微分方程式のラプラス変換は次のようになります。

$s^2Y(s) - sy_0 - v_0 + 3(sY(s) - y_0) + 2Y(s) = 0$

2. $Y(s)$ について解く

$(s^2 + 3s + 2)Y(s) = sy_0 + v_0 + 3y_0$

$Y(s) = \frac{sy_0 + v_0 + 3y_0}{s^2 + 3s + 2} = \frac{sy_0 + v_0 + 3y_0}{(s+1)(s+2)}$

3. 部分分数分解

$\frac{sy_0 + v_0 + 3y_0}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}$

$A(s+2) + B(s+1) = sy_0 + v_0 + 3y_0$

$s(A+B) + 2A + B = sy_0 + v_0 + 3y_0$

したがって、$A+B=y_0$ かつ $2A+B=v_0+3y_0$.

これらの連立方程式を解くと、$A = v_0 + 2y_0$ and $B = -v_0 - y_0$.

$Y(s) = \frac{v_0 + 2y_0}{s+1} + \frac{-v_0 - y_0}{s+2}$

4. 逆ラプラス変換

$y(t) = (v_0 + 2y_0)e^{-t} + (-v_0 - y_0)e^{-2t}$

$y(t) = (v_0 + 2y_0)e^{-t} - (v_0 + y_0)e^{-2t}$

3. 最終的な答え

(1) $y(t) = e^{-\frac{t}{2}}\left(\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right) + \sqrt{3}\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)\right)$

(2) $y(t) = (v_0 + 2y_0)e^{-t} - (v_0 + y_0)e^{-2t}$