次の不定積分を求めます。 $\int \frac{\sin x}{3 - 3\cos x - 2\sin^2 x} dx$ 積分結果は $\log \left| \frac{\text{ア}\cos x - \text{イ}}{\cos x - \text{ウ}} \right| + C$ の形式で表されます。「ア」、「イ」、「ウ」に当てはまる数字を求めます。

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int \frac{\sin x}{3 - 3\cos x - 2\sin^2 x} dx$

積分結果は

$\log \left| \frac{\text{ア}\cos x - \text{イ}}{\cos x - \text{ウ}} \right| + C$

の形式で表されます。「ア」、「イ」、「ウ」に当てはまる数字を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を用いて積分を書き換えます。

$\int \frac{\sin x}{3 - 3\cos x - 2(1 - \cos^2 x)} dx = \int \frac{\sin x}{3 - 3\cos x - 2 + 2\cos^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{2\cos^2 x - 3\cos x + 1} dx$

ここで、$t = \cos x$ と置換すると、$\frac{dt}{dx} = -\sin x$ なので、$-\sin x dx = dt$ となります。

与えられた積分は次のように書き換えられます。

$\int \frac{\sin x}{2\cos^2 x - 3\cos x + 1} dx = \int \frac{-dt}{2t^2 - 3t + 1} = -\int \frac{1}{2t^2 - 3t + 1} dt$

分母を因数分解します。

$2t^2 - 3t + 1 = (2t - 1)(t - 1)$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(2t - 1)(t - 1)} = \frac{A}{2t - 1} + \frac{B}{t - 1}$

$1 = A(t - 1) + B(2t - 1)$

$t = 1$ のとき、$1 = A(0) + B(2(1) - 1) = B$

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$1 = A(\frac{1}{2} - 1) + B(0) = A(-\frac{1}{2})$

よって、$A = -2$ 、$B = 1$

$-\int \frac{1}{2t^2 - 3t + 1} dt = -\int \left( \frac{-2}{2t - 1} + \frac{1}{t - 1} \right) dt = \int \left( \frac{2}{2t - 1} - \frac{1}{t - 1} \right) dt$

$\int \frac{2}{2t - 1} dt = \log |2t - 1|$

$\int \frac{1}{t - 1} dt = \log |t - 1|$

$\int \left( \frac{2}{2t - 1} - \frac{1}{t - 1} \right) dt = \log |2t - 1| - \log |t - 1| + C = \log \left| \frac{2t - 1}{t - 1} \right| + C$

$t = \cos x$ に戻します。

$\log \left| \frac{2\cos x - 1}{\cos x - 1} \right| + C$

したがって、「ア」は2、「イ」は1、「ウ」は1です。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 1

ウ: 1