関数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy = 0$ で定義される陰関数の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy = 0$ で定義される陰関数の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y) = 0$ を満たす $y$ が $x$ の関数 $y(x)$ として表せると仮定し、陰関数定理を利用します。

(1) $f_x$ と $f_y$ を計算します。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x$

(2) $\frac{dy}{dx}$ を計算します。陰関数定理より、

$\frac{dy}{dx} = - \frac{f_x}{f_y} = - \frac{3x^2 - 3y}{3y^2 - 3x} = - \frac{x^2 - y}{y^2 - x}$

(3) 極値を与える点を求めます。$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を探します。

$\frac{dy}{dx} = 0$ より、$x^2 - y = 0$, つまり $y = x^2$ を得ます。

これを $f(x, y) = 0$ に代入します。

$x^3 + (x^2)^3 - 3x(x^2) = 0$

$x^3 + x^6 - 3x^3 = 0$

$x^6 - 2x^3 = 0$

$x^3(x^3 - 2) = 0$

よって、$x = 0$ または $x = \sqrt[3]{2}$ です。

(4) それぞれの $x$ に対応する $y$ を求めます。

$x = 0$ のとき、$y = x^2 = 0$。

$x = \sqrt[3]{2}$ のとき、$y = x^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = 2^{2/3} = \sqrt[3]{4}$。

(5) 候補点 $(0, 0)$ と $(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4})$ において、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を計算し、極値かどうか判定します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( -\frac{x^2 - y}{y^2 - x} \right)$を計算します。この計算は非常に複雑になるので、別の方法を検討します。

$f_x = 3x^2 - 3y = 0$ かつ $f_y = 3y^2 - 3x = 0$ を満たす点を調べます。

$y = x^2$ かつ $x = y^2$

$x = (x^2)^2 = x^4$

$x^4 - x = x(x^3 - 1) = 0$

$x = 0$ または $x = 1$

$x = 0$ のとき $y = 0$

$x = 1$ のとき $y = 1$

$(0, 0)$ では $f_x = 0$, $f_y = 0$ となり、$\frac{dy}{dx}$ は定義できません。この点は特異点となります。

$(1, 1)$ では $f(1, 1) = 1 + 1 - 3 = -1 \neq 0$ なので、条件を満たしません。

$x = \sqrt[3]{2}$ の場合に戻って、考察します。$f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy = 0$

$f(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}) = 2 + 4 - 3 \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4} = 6 - 3 \sqrt[3]{8} = 6 - 3(2) = 0$

$\frac{dy}{dx} = - \frac{x^2 - y}{y^2 - x} = - \frac{(\sqrt[3]{2})^2 - (\sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{4})^2 - \sqrt[3]{2}} = 0$

$(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4})$ の近傍で $f_x = 0$ となることと、$y = x^2$ となることを利用します。

3. 最終的な答え

極値を与える点は$(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4})$ です。