与えられた極限の計算です。 $$ \lim_{\substack{v \to \infty \\ u \to -\infty}} \sqrt{3} \left( \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}v}{2} - \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}u}{2} \right) $$ この極限を計算し、その結果が $\sqrt{3} \left\{ \frac{\pi}{2} - \left( - \frac{\pi}{2} \right) \right\}$ となることを示し、最終的な値が$\sqrt{3}\pi$になることを確認します。

1. 問題の内容

与えられた極限の計算です。

$$\lim_{\substack{v \to \infty \\ u \to -\infty}} \sqrt{3} \left( \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}v}{2} - \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}u}{2} \right)$$

この極限を計算し、その結果が $\sqrt{3} \left\{ \frac{\pi}{2} - \left( - \frac{\pi}{2} \right) \right\}$ となることを示し、最終的な値が$\sqrt{3}\pi$になることを確認します。

2. 解き方の手順

まず、$\tan^{-1} x$ の極限を考えます。

$x \to \infty$ のとき、$\tan^{-1} x \to \frac{\pi}{2}$

$x \to -\infty$ のとき、$\tan^{-1} x \to -\frac{\pi}{2}$

したがって、

$$\lim_{v \to \infty} \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}v}{2} = \frac{\pi}{2}$$

$$\lim_{u \to -\infty} \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}u}{2} = -\frac{\pi}{2}$$

与えられた極限は、

$$\lim_{\substack{v \to \infty \\ u \to -\infty}} \sqrt{3} \left( \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}v}{2} - \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}u}{2} \right) = \sqrt{3} \left( \frac{\pi}{2} - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)$$

$$= \sqrt{3} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = \sqrt{3} \pi$$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}\pi$