以下の極限を計算する問題です。 $$ \lim_{\substack{v \to \infty \\ u \to \infty}} \sqrt{3} \left( \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}v}{2} - \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}u}{2} \right) $$

1. 問題の内容

以下の極限を計算する問題です。

$$\lim_{\substack{v \to \infty \\ u \to \infty}} \sqrt{3} \left( \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}v}{2} - \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}u}{2} \right)$$

2. 解き方の手順

まず、$v \to \infty$ と $u \to \infty$ の極限を別々に考えます。$x \to \infty$ のとき、$\tan^{-1}(x) \to \frac{\pi}{2}$ であることを利用します。

$$\lim_{v \to \infty} \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}v}{2} = \frac{\pi}{2}$$

$$\lim_{u \to \infty} \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}u}{2} = \frac{\pi}{2}$$

したがって、

$$\lim_{\substack{v \to \infty \\ u \to \infty}} \sqrt{3} \left( \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}v}{2} - \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}u}{2} \right) = \sqrt{3} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \right) = \sqrt{3} \cdot 0 = 0$$

3. 最終的な答え

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