(2) $\int \frac{-3x}{(2x-3)^4}dx$ (3) $\int 3x\sqrt{x-2}dx$ これらの不定積分を部分積分を用いて計算します。

1. 問題の内容

(2) $\int \frac{-3x}{(2x-3)^4}dx$

(3) $\int 3x\sqrt{x-2}dx$

これらの不定積分を部分積分を用いて計算します。

2. 解き方の手順

(2) の解き方

まず、$u = x$, $dv = \frac{-3}{(2x-3)^4} dx$ と置きます。

すると、$du = dx$ となります。

$v$ を求めるためには、$\int \frac{-3}{(2x-3)^4} dx$ を計算する必要があります。

$w = 2x-3$ と置換すると、$dw = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2} dw$ となります。

したがって、

$\int \frac{-3}{w^4} \frac{1}{2} dw = -\frac{3}{2} \int w^{-4} dw = -\frac{3}{2} \frac{w^{-3}}{-3} + C = \frac{1}{2} w^{-3} + C = \frac{1}{2(2x-3)^3} + C$

となります。ここでは、$v = \frac{1}{2(2x-3)^3}$ とします。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int \frac{-3x}{(2x-3)^4}dx = x \cdot \frac{1}{2(2x-3)^3} - \int \frac{1}{2(2x-3)^3} dx$

$= \frac{x}{2(2x-3)^3} - \frac{1}{2} \int (2x-3)^{-3} dx$

ここで、再度 $w = 2x-3$ と置換すると、$dw = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}dw$ となります。

$\int (2x-3)^{-3} dx = \int w^{-3} \frac{1}{2} dw = \frac{1}{2} \frac{w^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4w^2} + C = -\frac{1}{4(2x-3)^2} + C$

したがって、

$\int \frac{-3x}{(2x-3)^4} dx = \frac{x}{2(2x-3)^3} - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{4(2x-3)^2}\right) + C$

$= \frac{x}{2(2x-3)^3} + \frac{1}{8(2x-3)^2} + C$

$= \frac{4x + (2x-3)}{8(2x-3)^3} + C = \frac{6x-3}{8(2x-3)^3} + C = \frac{3(2x-1)}{8(2x-3)^3} + C$

(3) の解き方

$u = x$, $dv = 3\sqrt{x-2} dx$ と置きます。

すると、$du = dx$ となります。

$v$ を求めるためには、$\int 3\sqrt{x-2} dx$ を計算する必要があります。

$w = x-2$ と置換すると、$dw = dx$ となります。

$\int 3\sqrt{w} dw = 3 \int w^{\frac{1}{2}} dw = 3 \frac{w^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = 2 w^{\frac{3}{2}} + C = 2 (x-2)^{\frac{3}{2}} + C$

ここでは、$v = 2(x-2)^{\frac{3}{2}}$ とします。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int 3x\sqrt{x-2} dx = x \cdot 2(x-2)^{\frac{3}{2}} - \int 2(x-2)^{\frac{3}{2}} dx$

$= 2x(x-2)^{\frac{3}{2}} - 2 \int (x-2)^{\frac{3}{2}} dx$

ここで、$w = x-2$ と置換すると、$dw = dx$ となります。

$\int (x-2)^{\frac{3}{2}} dx = \int w^{\frac{3}{2}} dw = \frac{w^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5} (x-2)^{\frac{5}{2}} + C$

したがって、

$\int 3x\sqrt{x-2} dx = 2x(x-2)^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{2}{5} (x-2)^{\frac{5}{2}} + C$

$= 2x(x-2)^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} (x-2)^{\frac{5}{2}} + C$

$= 2(x-2)^{\frac{3}{2}} \left(x - \frac{2}{5}(x-2) \right) + C = 2(x-2)^{\frac{3}{2}} \left(\frac{5x-2x+4}{5}\right) + C$

$= \frac{2}{5}(x-2)^{\frac{3}{2}} (3x+4) + C$

3. 最終的な答え

(2) $\int \frac{-3x}{(2x-3)^4} dx = \frac{3(2x-1)}{8(2x-3)^3} + C$

(3) $\int 3x\sqrt{x-2} dx = \frac{2}{5}(3x+4)(x-2)^{\frac{3}{2}} + C$