定積分 $\int_1^2 \frac{2x^2+1}{x} dx$ の値を求めよ。

解析学定積分積分関数

2025/7/18

1. 問題の内容

定積分

\int_1^2 \frac{2x^2+1}{x} dx

の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の分数を分解します。

\frac{2x^2+1}{x} = \frac{2x^2}{x} + \frac{1}{x} = 2x + \frac{1}{x}

したがって、積分は次のようになります。

\int_1^2 \frac{2x^2+1}{x} dx = \int_1^2 \left(2x + \frac{1}{x}\right) dx

次に、不定積分を計算します。

\int \left(2x + \frac{1}{x}\right) dx = x^2 + \ln|x| + C

ここで、

C

は積分定数です。

最後に、定積分の値を計算します。

\int_1^2 \left(2x + \frac{1}{x}\right) dx = \left[x^2 + \ln|x|\right]_1^2 = (2^2 + \ln 2) - (1^2 + \ln 1) = (4 + \ln 2) - (1 + 0) = 3 + \ln 2

3. 最終的な答え

3 + \ln 2

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