与えられた二つの2階線形同次微分方程式を初期条件とともに解く問題です。 (1) $y'' + y' + y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 1$ (2) $y'' + 3y' + 2y = 0$, $y(0) = y_0$, $y'(0) = v_0$

1. 問題の内容

与えられた二つの2階線形同次微分方程式を初期条件とともに解く問題です。

(1) $y'' + y' + y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 1$

(2) $y'' + 3y' + 2y = 0$, $y(0) = y_0$, $y'(0) = v_0$

2. 解き方の手順

(1)

まず、特性方程式を立てます。

$r^2 + r + 1 = 0$

この特性方程式の解は、解の公式より、

$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$

よって、一般解は

$y(t) = e^{-\frac{1}{2}t}(c_1\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t) + c_2\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t))$

次に、初期条件 $y(0) = 1$ を適用します。

$y(0) = e^0 (c_1\cos(0) + c_2\sin(0)) = c_1 = 1$

よって $c_1 = 1$

次に、$y'(t)$ を求めます。

$y'(t) = -\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}t}(c_1\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t) + c_2\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)) + e^{-\frac{1}{2}t}(-\frac{\sqrt{3}}{2}c_1\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t) + \frac{\sqrt{3}}{2}c_2\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t))$

初期条件 $y'(0) = 1$ を適用します。

$y'(0) = -\frac{1}{2}(c_1 + 0) + (0 + \frac{\sqrt{3}}{2}c_2) = 1$

$-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}c_2 = 1$

$\frac{\sqrt{3}}{2}c_2 = \frac{3}{2}$

$c_2 = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

したがって、$c_1 = 1$, $c_2 = \sqrt{3}$

(2)

特性方程式を立てます。

$r^2 + 3r + 2 = 0$

$(r+1)(r+2) = 0$

$r = -1, -2$

よって、一般解は

$y(t) = c_1e^{-t} + c_2e^{-2t}$

初期条件 $y(0) = y_0$ を適用します。

$y(0) = c_1e^0 + c_2e^0 = c_1 + c_2 = y_0$

次に、$y'(t)$ を求めます。

$y'(t) = -c_1e^{-t} - 2c_2e^{-2t}$

初期条件 $y'(0) = v_0$ を適用します。

$y'(0) = -c_1 - 2c_2 = v_0$

連立方程式を解きます。

$c_1 + c_2 = y_0$

$-c_1 - 2c_2 = v_0$

2つの式を足すと、

$-c_2 = y_0 + v_0$

$c_2 = -y_0 - v_0$

$c_1 = y_0 - c_2 = y_0 - (-y_0 - v_0) = 2y_0 + v_0$

したがって、$c_1 = 2y_0 + v_0$, $c_2 = -y_0 - v_0$

3. 最終的な答え

(1) $y(t) = e^{-\frac{1}{2}t}(\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t) + \sqrt{3}\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t))$

(2) $y(t) = (2y_0 + v_0)e^{-t} + (-y_0 - v_0)e^{-2t}$