定積分 $\int_{0}^{3} \sqrt{x+1} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{3} \sqrt{x+1} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\sqrt{x+1}$ を積分するために、置換積分を使用します。

$u = x+1$ とおくと、$du = dx$ となります。

積分区間も変化します。$x=0$ のとき $u=1$、$x=3$ のとき $u=4$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{3} \sqrt{x+1} dx = \int_{1}^{4} \sqrt{u} du$

$\sqrt{u}$ は $u^{\frac{1}{2}}$ と書けるので、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} du$

$u^{\frac{1}{2}}$ の不定積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。したがって、定積分は次のようになります。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} du = \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} = \frac{2}{3} (4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} (1^{\frac{3}{2}})$

$4^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^3 = 2^3 = 8$

$1^{\frac{3}{2}} = 1$

したがって、

$\frac{2}{3} (8) - \frac{2}{3} (1) = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{14}{3}$