極限値 $\lim_{x \to -1} \frac{3x^2 + x - 2}{x+1}$ を求めます。

## 問題1の(1)

1. 問題の内容

極限値 $\lim_{x \to -1} \frac{3x^2 + x - 2}{x+1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

分子を因数分解します。$3x^2 + x - 2 = (3x - 2)(x+1)$ となります。

したがって、

$\frac{3x^2 + x - 2}{x+1} = \frac{(3x - 2)(x+1)}{x+1}$

$x \neq -1$ のとき、$\frac{(3x - 2)(x+1)}{x+1} = 3x - 2$

$\lim_{x \to -1} (3x - 2) = 3(-1) - 2 = -3 - 2 = -5$

3. 最終的な答え

-5

## 問題1の(2)

1. 問題の内容

極限値 $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 2x - 15}{x^2 - 5x + 6}$ を求めます。

2. 解き方の手順

分子と分母をそれぞれ因数分解します。

$x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3)$

$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$

したがって、

$\frac{x^2 + 2x - 15}{x^2 - 5x + 6} = \frac{(x+5)(x-3)}{(x-2)(x-3)}$

$x \neq 3$ のとき、$\frac{(x+5)(x-3)}{(x-2)(x-3)} = \frac{x+5}{x-2}$

$\lim_{x \to 3} \frac{x+5}{x-2} = \frac{3+5}{3-2} = \frac{8}{1} = 8$

3. 最終的な答え

8

## 問題1の(3)

1. 問題の内容

極限値 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{x+3} - \frac{1}{3} \right)$ を求めます。

2. 解き方の手順

括弧の中を通分します。

$\frac{1}{x+3} - \frac{1}{3} = \frac{3 - (x+3)}{3(x+3)} = \frac{-x}{3(x+3)}$

したがって、

$\frac{1}{x} \left( \frac{1}{x+3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{x} \cdot \frac{-x}{3(x+3)} = \frac{-1}{3(x+3)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{-1}{3(x+3)} = \frac{-1}{3(0+3)} = \frac{-1}{9}$

3. 最終的な答え

-1/9

## 問題1の(4)

1. 問題の内容

極限値 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{4}{(x+2)^2} - 1 \right)$ を求めます。

2. 解き方の手順

括弧の中を通分します。

$\frac{4}{(x+2)^2} - 1 = \frac{4 - (x+2)^2}{(x+2)^2} = \frac{4 - (x^2 + 4x + 4)}{(x+2)^2} = \frac{-x^2 - 4x}{(x+2)^2} = \frac{-x(x+4)}{(x+2)^2}$

したがって、

$\frac{1}{x} \left( \frac{4}{(x+2)^2} - 1 \right) = \frac{1}{x} \cdot \frac{-x(x+4)}{(x+2)^2} = \frac{-(x+4)}{(x+2)^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{-(x+4)}{(x+2)^2} = \frac{-(0+4)}{(0+2)^2} = \frac{-4}{4} = -1$

3. 最終的な答え

-1