定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を以下のように変形します。

$$\frac{1}{1 + \sin x} = \frac{1 - \sin x}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} = \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x} = \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x}$$

したがって、

$$\int \frac{1}{1 + \sin x} dx = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x} \right) dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx - \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$$

ここで、$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x$ です。また、$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$ については、$t = \cos x$ とおくと、$dt = - \sin x dx$ であるから、

$$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{-dt}{t^2} = \frac{1}{t} + C = \frac{1}{\cos x} + C$$

したがって、

$$\int \frac{1}{1 + \sin x} dx = \tan x - \frac{1}{\cos x} + C$$

よって、

\begin{align*} \label{eq:1}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} dx &= \left[ \tan x - \frac{1}{\cos x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\ &= \left( \tan \frac{\pi}{4} - \frac{1}{\cos \frac{\pi}{4}} \right) - \left( \tan 0 - \frac{1}{\cos 0} \right) \\ &= \left( 1 - \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right) - (0 - 1) \\ &= 1 - \sqrt{2} + 1 \\ &= 2 - \sqrt{2}\end{align*}

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{2}$