定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 dx$ を求める。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 dx$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$(\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \sin^2 x - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{2} = \sin^2 x - \sqrt{2} \sin x + \frac{1}{2}$

次に、$\sin^2 x$ を半角の公式で変形します。

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

したがって、被積分関数は、

$\frac{1 - \cos 2x}{2} - \sqrt{2} \sin x + \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} \cos 2x - \sqrt{2} \sin x$

したがって、定積分は

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \frac{1}{2} \cos 2x - \sqrt{2} \sin x) dx$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx - \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx$

$= [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} \sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \sqrt{2} [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= (\frac{\pi}{2} - 0) - \frac{1}{4} (\sin \pi - \sin 0) - \sqrt{2} (-\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0)$

$= \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} (0 - 0) - \sqrt{2} (-0 + 1)$

$= \frac{\pi}{2} - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} - \sqrt{2}$