与えられた広義積分を計算する問題です。具体的には以下の3つの積分を計算します。 (1) $\int_1^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$ (2) $\int_0^{\infty} \frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}$, ただし $a, b > 0, a \neq b$ (3) $\int_{-1}^{1} \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

1. 問題の内容

与えられた広義積分を計算する問題です。具体的には以下の3つの積分を計算します。

(1) $\int_1^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$

(2) $\int_0^{\infty} \frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}$, ただし $a, b > 0, a \neq b$

(3) $\int_{-1}^{1} \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

(1)

部分積分を用いて計算します。

$u = \log x$, $dv = \frac{1}{x^2} dx$ とすると、

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = -\frac{1}{x}$ となります。

よって、

$\int_1^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx = \left[ -\frac{\log x}{x} \right]_1^{\infty} + \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ なので、

$\left[ -\frac{\log x}{x} \right]_1^{\infty} = 0 - (-\frac{\log 1}{1}) = 0$

$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^{\infty} = 0 - (-1) = 1$

したがって、$\int_1^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx = 1$

(2)

部分分数分解を用いて計算します。

$\frac{1}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)} = \frac{A}{x^2+a^2} + \frac{B}{x^2+b^2}$ とおくと、

$1 = A(x^2+b^2) + B(x^2+a^2) = (A+B)x^2 + (Ab^2 + Ba^2)$

よって、$A+B = 0$ かつ $Ab^2 + Ba^2 = 1$

$A = -B$ なので、$-Bb^2 + Ba^2 = 1$, つまり $B(a^2-b^2) = 1$

$B = \frac{1}{a^2-b^2}$, $A = -\frac{1}{a^2-b^2}$

$\int_0^{\infty} \frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)} = \frac{1}{a^2-b^2} \int_0^{\infty} \left( \frac{1}{x^2+b^2} - \frac{1}{x^2+a^2} \right) dx$

$= \frac{1}{a^2-b^2} \left[ \frac{1}{b} \arctan(\frac{x}{b}) - \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) \right]_0^{\infty}$

$= \frac{1}{a^2-b^2} \left( \frac{1}{b} \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{1}{a} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2(a^2-b^2)} \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \right) = \frac{\pi}{2(a^2-b^2)} \cdot \frac{a-b}{ab} = \frac{\pi}{2ab(a+b)}$

(3)

置換積分を用いて計算します。

$x = \sin \theta$ とおくと、$dx = \cos \theta d\theta$, $\sin^{-1} x = \theta$

$\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 \theta} = \cos \theta$

積分範囲は $x: -1 \to 1$ より $\theta: -\frac{\pi}{2} \to \frac{\pi}{2}$

$\int_{-1}^{1} \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \theta \cdot \theta}{\cos \theta} \cos \theta d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \theta \sin \theta d\theta$

部分積分: $u = \theta$, $dv = \sin \theta d\theta$, $du = d\theta$, $v = -\cos \theta$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \theta \sin \theta d\theta = \left[ -\theta \cos \theta \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta d\theta = 0 + \left[ \sin \theta \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 1 - (-1) = 2$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{\pi}{2ab(a+b)}$

(3) 2