* $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{2x}$ * $\lim_{x \to 0} \sqrt{x} \log x$ * $\lim_{x \to \infty} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$

解析学極限微分ライプニッツの公式不定積分定積分ロピタルの定理部分積分
2025/7/18
## 回答
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1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の4つの大問から構成されています。

1. 極限を求める問題が3つあります。

* limx0sin1x2x\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{2x}
* limx0xlogx\lim_{x \to 0} \sqrt{x} \log x
* limx(1+x)1x\lim_{x \to \infty} (1 + x)^{\frac{1}{x}}

2. ライプニッツの公式を用いて、関数 $((x^2 - 3x + 1)e^x)^{(3)}$ を求める問題です。(3回微分)

3. 不定積分を計算する問題が3つあります。

* 1+x3xdx\int \frac{1 + x^3}{x} dx
* x1xdx\int x \sqrt{1 - x} dx
* x2sinxdx\int x^2 \sin x dx

4. 定積分を計算する問題が4つあります。

* 0πxcosxdx\int_0^{\pi} x \cos x dx
* 1ex2logxdx\int_1^e x^2 \log x dx
* 01x(x21)5dx\int_0^1 x (x^2 - 1)^5 dx
* 04x2x+1dx\int_0^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx
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2. 解き方の手順

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1. 極限

(1) limx0sin1x2x\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{2x}:
ロピタルの定理を用いることができます。sin1x\sin^{-1} x の微分は 11x2\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} なので、
limx0sin1x2x=limx011x22=12 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}{2} = \frac{1}{2}
(2) limx0xlogx\lim_{x \to 0} \sqrt{x} \log x:
y=xy = \sqrt{x} と置くと、x=y2 x = y^2 なので、
limx0xlogx=limy0ylog(y2)=limy02ylogy\lim_{x \to 0} \sqrt{x} \log x = \lim_{y \to 0} y \log (y^2) = \lim_{y \to 0} 2y \log y
ここで、ロピタルの定理を使うために、2ylogy=2logy1/y2y \log y = \frac{2 \log y}{1/y}と変形する。
limy02logy1/y=limy02/y1/y2=limy02y=0 \lim_{y \to 0} \frac{2 \log y}{1/y} = \lim_{y \to 0} \frac{2/y}{-1/y^2} = \lim_{y \to 0} -2y = 0
(3) limx(1+x)1x\lim_{x \to \infty} (1 + x)^{\frac{1}{x}}:
y=(1+x)1xy = (1 + x)^{\frac{1}{x}} と置くと、logy=1xlog(1+x)\log y = \frac{1}{x} \log (1 + x)
limxlogy=limxlog(1+x)x \lim_{x \to \infty} \log y = \lim_{x \to \infty} \frac{\log (1 + x)}{x}
ロピタルの定理を用いると、
limxlog(1+x)x=limx11+x1=0 \lim_{x \to \infty} \frac{\log (1 + x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x}}{1} = 0
したがって、limxlogy=0\lim_{x \to \infty} \log y = 0 なので、limxy=e0=1\lim_{x \to \infty} y = e^0 = 1
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2. ライプニッツの公式

f(x)=(x23x+1)exf(x) = (x^2 - 3x + 1)e^xの3回微分を求めます。ライプニッツの公式を使う必要はありません。
f(x)=(2x3)ex+(x23x+1)ex=(x2x2)exf'(x) = (2x - 3)e^x + (x^2 - 3x + 1)e^x = (x^2 - x - 2)e^x
f(x)=(2x1)ex+(x2x2)ex=(x2+x3)exf''(x) = (2x - 1)e^x + (x^2 - x - 2)e^x = (x^2 + x - 3)e^x
f(x)=(2x+1)ex+(x2+x3)ex=(x2+3x2)exf'''(x) = (2x + 1)e^x + (x^2 + x - 3)e^x = (x^2 + 3x - 2)e^x
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3. 不定積分

(1) 1+x3xdx=(1x+x2)dx=logx+13x3+C\int \frac{1 + x^3}{x} dx = \int (\frac{1}{x} + x^2) dx = \log |x| + \frac{1}{3}x^3 + C
(2) x1xdx\int x \sqrt{1 - x} dx:
u=1xu = 1 - x と置くと、x=1ux = 1 - udx=dudx = -du
x1xdx=(1u)u(du)=(u3/2u1/2)du=25u5/223u3/2+C=25(1x)5/223(1x)3/2+C \int x \sqrt{1 - x} dx = \int (1 - u) \sqrt{u} (-du) = \int (u^{3/2} - u^{1/2}) du = \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{2}{5} (1 - x)^{5/2} - \frac{2}{3} (1 - x)^{3/2} + C
(3) x2sinxdx\int x^2 \sin x dx:
部分積分を2回行います。
x2sinxdx=x2cosx+2xcosxdx=x2cosx+2xsinx2sinxdx=x2cosx+2xsinx+2cosx+C \int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x - \int 2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C
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4. 定積分

(1) 0πxcosxdx\int_0^{\pi} x \cos x dx:
部分積分を行います。
0πxcosxdx=[xsinx]0π0πsinxdx=(πsinπ0)+[cosx]0π=0+(cosπcos0)=11=2\int_0^{\pi} x \cos x dx = [x \sin x]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \sin x dx = (\pi \sin \pi - 0) + [\cos x]_0^{\pi} = 0 + (\cos \pi - \cos 0) = -1 - 1 = -2
(2) 1ex2logxdx\int_1^e x^2 \log x dx:
部分積分を行います。
1ex2logxdx=[13x3logx]1e1e13x31xdx=(13e3loge13(1)3log1)131ex2dx=13e3013[13x3]1e=13e319(e31)=29e3+19 \int_1^e x^2 \log x dx = [\frac{1}{3} x^3 \log x]_1^e - \int_1^e \frac{1}{3} x^3 \cdot \frac{1}{x} dx = (\frac{1}{3} e^3 \log e - \frac{1}{3} (1)^3 \log 1) - \frac{1}{3} \int_1^e x^2 dx = \frac{1}{3} e^3 - 0 - \frac{1}{3} [\frac{1}{3} x^3]_1^e = \frac{1}{3} e^3 - \frac{1}{9} (e^3 - 1) = \frac{2}{9} e^3 + \frac{1}{9}
(3) 01x(x21)5dx\int_0^1 x (x^2 - 1)^5 dx:
u=x21u = x^2 - 1 と置くと、du=2xdxdu = 2x dxxdx=12dux dx = \frac{1}{2} du
積分範囲は、x=0x = 0 のとき u=1u = -1x=1x = 1 のとき u=0u = 0
01x(x21)5dx=10u512du=12[16u6]10=112[u6]10=112(0(1)6)=112 \int_0^1 x (x^2 - 1)^5 dx = \int_{-1}^0 u^5 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} [\frac{1}{6} u^6]_{-1}^0 = \frac{1}{12} [u^6]_{-1}^0 = \frac{1}{12} (0 - (-1)^6) = -\frac{1}{12}
(4) 04x2x+1dx\int_0^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx:
u=2x+1u = \sqrt{2x+1} と置くと、u2=2x+1u^2 = 2x + 1x=u212x = \frac{u^2 - 1}{2}dx=ududx = u du
積分範囲は、x=0x = 0 のとき u=1u = 1x=4x = 4 のとき u=9=3u = \sqrt{9} = 3
04x2x+1dx=13u212uudu=1213(u21)du=12[13u3u]13=12[(13(3)33)(131)]=12[(93)(131)]=12[6+23]=12203=103 \int_0^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx = \int_1^3 \frac{\frac{u^2 - 1}{2}}{u} u du = \frac{1}{2} \int_1^3 (u^2 - 1) du = \frac{1}{2} [\frac{1}{3} u^3 - u]_1^3 = \frac{1}{2} [(\frac{1}{3} (3)^3 - 3) - (\frac{1}{3} - 1)] = \frac{1}{2} [(9 - 3) - (\frac{1}{3} - 1)] = \frac{1}{2} [6 + \frac{2}{3}] = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{3} = \frac{10}{3}
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3. 最終的な答え

1. 極限

* (1) 12\frac{1}{2}
* (2) 00
* (3) 11

2. ライプニッツの公式

* ((x2+3x2)ex)((x^2 + 3x - 2)e^x)

3. 不定積分

* (1) logx+13x3+C\log |x| + \frac{1}{3}x^3 + C
* (2) 25(1x)5/223(1x)3/2+C\frac{2}{5} (1 - x)^{5/2} - \frac{2}{3} (1 - x)^{3/2} + C
* (3) x2cosx+2xsinx+2cosx+C-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C

4. 定積分

* (1) 2-2
* (2) 29e3+19\frac{2}{9} e^3 + \frac{1}{9}
* (3) 112-\frac{1}{12}
* (4) 103\frac{10}{3}

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