* $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{2x}$ * $\lim_{x \to 0} \sqrt{x} \log x$ * $\lim_{x \to \infty} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$
2025/7/18
## 回答
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1. 問題の内容
与えられた問題は、以下の4つの大問から構成されています。
1. 極限を求める問題が3つあります。
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2. ライプニッツの公式を用いて、関数 $((x^2 - 3x + 1)e^x)^{(3)}$ を求める問題です。(3回微分)
3. 不定積分を計算する問題が3つあります。
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4. 定積分を計算する問題が4つあります。
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2. 解き方の手順
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1. 極限
(1) :
ロピタルの定理を用いることができます。 の微分は なので、
(2) :
と置くと、 なので、
。
ここで、ロピタルの定理を使うために、と変形する。
(3) :
と置くと、。
。
ロピタルの定理を用いると、
。
したがって、 なので、。
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2. ライプニッツの公式
の3回微分を求めます。ライプニッツの公式を使う必要はありません。
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3. 不定積分
(1)
(2) :
と置くと、、。
(3) :
部分積分を2回行います。
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4. 定積分
(1) :
部分積分を行います。
(2) :
部分積分を行います。
(3) :
と置くと、、。
積分範囲は、 のとき 、 のとき 。
(4) :
と置くと、、、。
積分範囲は、 のとき 、 のとき 。
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3. 最終的な答え
1. 極限
* (1)
* (2)
* (3)
2. ライプニッツの公式
*
3. 不定積分
* (1)
* (2)
* (3)
4. 定積分
* (1)
* (2)
* (3)
* (4)