画像に示された問題は、主に極限と無限等比級数に関するものです。具体的には、以下の問題が含まれています。 * 極限の計算： * $\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2-2n+1}{n^2+n+1}$ の計算 * $\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ の計算 * 無限等比級数の収束条件と和に関する問題 * 無限等比級数の和の計算 * $2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{32} + \frac{1}{128} - \dots$ の和の計算 * 循環小数を分数で表す問題 * $0.\dot{3}$ を分数で表す問題

1. 問題の内容

画像に示された問題は、主に極限と無限等比級数に関するものです。具体的には、以下の問題が含まれています。

* 極限の計算：

* $\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2-2n+1}{n^2+n+1}$ の計算

* $\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ の計算

* 無限等比級数の収束条件と和に関する問題

* 無限等比級数の和の計算

* $2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{32} + \frac{1}{128} - \dots$ の和の計算

* 循環小数を分数で表す問題

* $0.\dot{3}$ を分数で表す問題

2. 解き方の手順

* (1) $\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2-2n+1}{n^2+n+1}$ の計算

分子と分母を $n^2$ で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2-2n+1}{n^2+n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{3-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}$

$n \to \infty$ のとき、 $\frac{1}{n} \to 0$ および $\frac{1}{n^2} \to 0$ であるから、

$\lim_{n\to\infty} \frac{3-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}} = \frac{3-0+0}{1+0+0} = 3$

* (2) $\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ の計算

分子と分母を $\sqrt{n}$ で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{n+1}{n}}+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$

$n \to \infty$ のとき、 $\frac{1}{n} \to 0$ であるから、

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

* 無限等比級数 $\sum_{k=0}^{\infty} a^k = 1 + a + a^2 + \dots$ の収束条件は $|a| < 1$ であり、そのときの和は $\frac{1}{1-a}$ である。

* (1) 無限等比級数 $2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{32} + \frac{1}{128} - \dots$

初項は $2$ で、公比は $-\frac{1}{4}$ である。

公比の絶対値は $|-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} < 1$ であるから、この無限等比級数は収束する。

その和は $\frac{2}{1 - (-\frac{1}{4})} = \frac{2}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{2}{\frac{5}{4}} = \frac{8}{5}$

* (2) 循環小数 $0.\dot{3} = 0.3 + 0.03 + 0.003 + \dots$

これは初項が $0.3 = \frac{3}{10}$ で、公比が $\frac{1}{10}$ の無限等比級数である。

公比の絶対値は $|\frac{1}{10}| = \frac{1}{10} < 1$ であるから、この無限等比級数は収束する。

その和は $\frac{\frac{3}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

* (1) $\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2-2n+1}{n^2+n+1} = 3$

* (2) $\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{2}$

* 無限等比級数 $\sum_{k=0}^{\infty} a^k = 1 + a + a^2 + \dots$ が収束するのは $|a| < 1$ のときで、その和は $\frac{1}{1-a}$ である。

* (1) $2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{32} + \frac{1}{128} - \dots = \frac{8}{5}$

* (2) $0.\dot{3} = 0.3 + 0.03 + 0.003 + \dots = \frac{1}{3}$