$\alpha$を定数とする。広義積分 $\int_{0}^{1} x^{\alpha} dx$ を次の4つの場合に分けて求めよ。 (1) $\alpha \ge 0$ (2) $-1 < \alpha < 0$ (3) $\alpha = -1$ (4) $\alpha < -1$

1. 問題の内容

$\alpha$を定数とする。広義積分 $\int_{0}^{1} x^{\alpha} dx$ を次の4つの場合に分けて求めよ。

(1) $\alpha \ge 0$

(2) $-1 < \alpha < 0$

(3) $\alpha = -1$

(4) $\alpha < -1$

2. 解き方の手順

広義積分を計算する。

(1) $\alpha \ge 0$ の場合、被積分関数 $x^{\alpha}$ は $[0, 1]$ で連続なので、通常の定積分として計算できる。

$\int_0^1 x^{\alpha} dx = \left[ \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right]_0^1 = \frac{1^{\alpha+1}}{\alpha+1} - \frac{0^{\alpha+1}}{\alpha+1} = \frac{1}{\alpha+1} - 0 = \frac{1}{\alpha+1}$

(2) $-1 < \alpha < 0$ の場合、被積分関数 $x^{\alpha}$ は $x=0$ で定義されないので、広義積分として計算する。

$\int_0^1 x^{\alpha} dx = \lim_{t \to +0} \int_t^1 x^{\alpha} dx = \lim_{t \to +0} \left[ \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right]_t^1 = \lim_{t \to +0} \left( \frac{1}{\alpha+1} - \frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right)$

$-1 < \alpha < 0$ より、$\alpha+1 > 0$ なので、$\lim_{t \to +0} t^{\alpha+1} = 0$.

よって、

$\int_0^1 x^{\alpha} dx = \frac{1}{\alpha+1} - 0 = \frac{1}{\alpha+1}$

(3) $\alpha = -1$ の場合

$\int_0^1 x^{-1} dx = \int_0^1 \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to +0} \int_t^1 \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to +0} [\ln x]_t^1 = \lim_{t \to +0} (\ln 1 - \ln t) = \lim_{t \to +0} (0 - \ln t) = - (-\infty) = \infty$

よって、発散する。

(4) $\alpha < -1$ の場合

$\int_0^1 x^{\alpha} dx = \lim_{t \to +0} \int_t^1 x^{\alpha} dx = \lim_{t \to +0} \left[ \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right]_t^1 = \lim_{t \to +0} \left( \frac{1}{\alpha+1} - \frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right)$

$\alpha < -1$ より、$\alpha+1 < 0$ なので、$\lim_{t \to +0} t^{\alpha+1} = \infty$。

したがって、

$\lim_{t \to +0} \left( \frac{1}{\alpha+1} - \frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right) = \frac{1}{\alpha+1} - \frac{\infty}{\alpha+1} = \frac{1}{\alpha+1} + \infty = \infty$

よって、発散する。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha \ge 0$ のとき $\frac{1}{\alpha+1}$

(2) $-1 < \alpha < 0$ のとき $\frac{1}{\alpha+1}$

(3) $\alpha = -1$ のとき 発散

(4) $\alpha < -1$ のとき 発散