与えられた関数のマクローリン展開における、$x^3$ の係数を求める問題です。 (1) $\sin(5x) - \sin(3x)$ (2) $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$

1. 問題の内容

与えられた関数のマクローリン展開における、$x^3$ の係数を求める問題です。

(1) $\sin(5x) - \sin(3x)$

(2) $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin(5x) - \sin(3x)$ の場合：

$\sin x$ のマクローリン展開は以下の通りです。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

したがって、

$\sin(5x) = 5x - \frac{(5x)^3}{3!} + \frac{(5x)^5}{5!} - \cdots = 5x - \frac{125x^3}{6} + \frac{3125x^5}{120} - \cdots$

$\sin(3x) = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \frac{(3x)^5}{5!} - \cdots = 3x - \frac{27x^3}{6} + \frac{243x^5}{120} - \cdots$

$\sin(5x) - \sin(3x) = (5x - 3x) - (\frac{125x^3}{6} - \frac{27x^3}{6}) + (\frac{3125x^5}{120} - \frac{243x^5}{120}) - \cdots$

$= 2x - \frac{98}{6}x^3 + \frac{2882}{120}x^5 - \cdots$

$= 2x - \frac{49}{3}x^3 + \frac{1441}{60}x^5 - \cdots$

$x^3$ の係数は $-\frac{49}{3}$ です。

(2) $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ の場合：

$\frac{1}{\sqrt{1+x}} = (1+x)^{-\frac{1}{2}}$

二項定理より、

$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$

$n = -\frac{1}{2}$ なので、

$(1+x)^{-\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2!}x^2 + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})}{3!}x^3 + \cdots$

$= 1 - \frac{1}{2}x + \frac{\frac{3}{4}}{2}x^2 + \frac{-\frac{15}{8}}{6}x^3 + \cdots$

$= 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \cdots$

$x^3$ の係数は $-\frac{5}{16}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\sin 5x - \sin 3x$ の $x^3$ の係数: $-\frac{49}{3}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ の $x^3$ の係数: $-\frac{5}{16}$