問題3について、以下の小問に答えます。 (1) $f(x) = \log(1+x)$ にマクローリンの定理 ($n=2$) を適用した式を求めます。 (2) $\log(1.02)$ の近似値を小数第4位まで求めます。 (3) (2) で求めた近似値の誤差の限界について調べます。

1. 問題の内容

問題3について、以下の小問に答えます。

(1) $f(x) = \log(1+x)$ にマクローリンの定理 ($n=2$) を適用した式を求めます。

(2) $\log(1.02)$ の近似値を小数第4位まで求めます。

(3) (2) で求めた近似値の誤差の限界について調べます。

2. 解き方の手順

(1) マクローリンの定理($n=2$)を適用した式を求める。

マクローリンの定理は、関数$f(x)$を$x=0$の周りで展開したものです。 $n=2$の場合、次のようになります。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2$

与えられた関数は、$f(x) = \log(1+x)$ です。

まず、$f(x)$ の1階微分と2階微分を計算します。

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

次に、$x=0$でのそれぞれの値を求めます。

$f(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

$f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$

したがって、マクローリンの定理を適用した式は次のようになります。

$f(x) \approx 0 + 1 \cdot x + \frac{-1}{2}x^2$

$f(x) \approx x - \frac{1}{2}x^2$

(2) $\log(1.02)$ の近似値を小数第4位まで求める。

$\log(1.02)$ は $\log(1+0.02)$ と書けます。したがって、$x=0.02$ を上記の式に代入します。

$\log(1.02) \approx 0.02 - \frac{1}{2}(0.02)^2 = 0.02 - \frac{1}{2}(0.0004) = 0.02 - 0.0002 = 0.0198$

したがって、$\log(1.02)$ の近似値は $0.0198$ です。

(3) (2) で求めた近似値の誤差の限界について調べる。

誤差の限界を調べるには、剰余項を評価する必要があります。

剰余項はラグランジュの剰余項を用いると、次のようになります。

$R_2(x) = \frac{f'''(c)}{3!}x^3$

ここで、$c$ は $0$ と $x$ の間の数です。

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

$x = 0.02$ を代入すると、

$R_2(0.02) = \frac{2}{6(1+c)^3}(0.02)^3 = \frac{(0.02)^3}{3(1+c)^3}$

$0 < c < 0.02$ なので、

$\frac{(0.02)^3}{3(1.02)^3} < R_2(0.02) < \frac{(0.02)^3}{3(1)^3}$

$\frac{0.000008}{3(1.061208)} < R_2(0.02) < \frac{0.000008}{3}$

$0.000002507 < R_2(0.02) < 0.000002667$

したがって、誤差の限界はおよそ $0.000002667$ です。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) \approx x - \frac{1}{2}x^2$

(2) $0.0198$

(3) 誤差の限界はおよそ $0.000002667$ である。