$\sin \theta + \cos \theta$ を一つのサイン関数に変形せよ。

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta$ を一つのサイン関数に変形せよ。

2. 解き方の手順

三角関数の合成の公式を用いる。

$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (\theta + \alpha)$

ただし、$\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, $\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

今回の問題では、$a = 1$, $b = 1$ なので、

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$\alpha = \frac{\pi}{4}$

したがって、

$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin (\theta + \frac{\pi}{4})$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} \sin (\theta + \frac{\pi}{4})$