問題文は、関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$ を微分して、そのグラフを考えるというものです。

1. 問題の内容

問題文は、関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$ を微分して、そのグラフを考えるというものです。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を $x$ で微分します。

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$

微分を行うにあたり、$C = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$ とおくと、

$f(x) = C e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$ となります。

この関数を $x$ で微分すると、

$f'(x) = C e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} \cdot \frac{d}{dx} \left(-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right)$

$f'(x) = C e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} \cdot \left(-\frac{2(x-m)}{2\sigma^2}\right)$

$f'(x) = -\frac{C(x-m)}{\sigma^2} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$

$f'(x)$ を用いて、グラフの形状を考えます。

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = m$ のときです。

$x < m$ のとき、$f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

$x > m$ のとき、$f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少します。

したがって、$x = m$ で最大値を取ります。

$f(m) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(m-m)^2}{2\sigma^2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$

これは、平均 $m$、分散 $\sigma^2$ の正規分布の確率密度関数です。グラフは、$x=m$ を中心とした釣鐘型になります。

3. 最終的な答え

与えられた関数は、平均 $m$、分散 $\sigma^2$ の正規分布の確率密度関数であり、グラフは $x=m$ を中心とした釣鐘型になる。