与えられた関数をマクローリンの定理を用いて指定された次数の多項式で近似する問題です。 (1) $\sqrt{(1+x)^3}$ を3次式で近似 (2) $\log(1-x)$ を3次式で近似 (3) $\sin 2x$ を3次式で近似 (4) $\cos 3x$ を4次式で近似 (5) $e^{-4x}$ を3次式で近似

1. 問題の内容

与えられた関数をマクローリンの定理を用いて指定された次数の多項式で近似する問題です。

(1) $\sqrt{(1+x)^3}$ を3次式で近似

(2) $\log(1-x)$ を3次式で近似

(3) $\sin 2x$ を3次式で近似

(4) $\cos 3x$ を4次式で近似

(5) $e^{-4x}$ を3次式で近似

2. 解き方の手順

マクローリンの定理は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りで展開したものです。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

それぞれの関数について、指定された次数の項まで微分を計算し、各係数を求めます。

(1) $f(x) = \sqrt{(1+x)^3} = (1+x)^{\frac{3}{2}}$

$f(0) = 1$

$f'(x) = \frac{3}{2}(1+x)^{\frac{1}{2}}$ , $f'(0) = \frac{3}{2}$

$f''(x) = \frac{3}{4}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$ , $f''(0) = \frac{3}{4}$

$f'''(x) = -\frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{3}{2}}$ , $f'''(0) = -\frac{3}{8}$

したがって、3次式での近似は

$f(x) \approx 1 + \frac{3}{2}x + \frac{\frac{3}{4}}{2}x^2 + \frac{-\frac{3}{8}}{6}x^3 = 1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{16}x^3$

(2) $f(x) = \log(1-x)$

$f(0) = 0$

$f'(x) = -\frac{1}{1-x}$ , $f'(0) = -1$

$f''(x) = -\frac{1}{(1-x)^2}$ , $f''(0) = -1$

$f'''(x) = -\frac{2}{(1-x)^3}$ , $f'''(0) = -2$

したがって、3次式での近似は

$f(x) \approx -x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{6}x^3 = -x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$

(3) $f(x) = \sin 2x$

$f(0) = 0$

$f'(x) = 2\cos 2x$ , $f'(0) = 2$

$f''(x) = -4\sin 2x$ , $f''(0) = 0$

$f'''(x) = -8\cos 2x$ , $f'''(0) = -8$

したがって、3次式での近似は

$f(x) \approx 2x - \frac{8}{6}x^3 = 2x - \frac{4}{3}x^3$

(4) $f(x) = \cos 3x$

$f(0) = 1$

$f'(x) = -3\sin 3x$ , $f'(0) = 0$

$f''(x) = -9\cos 3x$ , $f''(0) = -9$

$f'''(x) = 27\sin 3x$ , $f'''(0) = 0$

$f''''(x) = 81\cos 3x$ , $f''''(0) = 81$

したがって、4次式での近似は

$f(x) \approx 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{81}{24}x^4 = 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4$

(5) $f(x) = e^{-4x}$

$f(0) = 1$

$f'(x) = -4e^{-4x}$ , $f'(0) = -4$

$f''(x) = 16e^{-4x}$ , $f''(0) = 16$

$f'''(x) = -64e^{-4x}$ , $f'''(0) = -64$

したがって、3次式での近似は

$f(x) \approx 1 - 4x + \frac{16}{2}x^2 - \frac{64}{6}x^3 = 1 - 4x + 8x^2 - \frac{32}{3}x^3$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{(1+x)^3} \approx 1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{16}x^3$

(2) $\log(1-x) \approx -x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$

(3) $\sin 2x \approx 2x - \frac{4}{3}x^3$

(4) $\cos 3x \approx 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4$

(5) $e^{-4x} \approx 1 - 4x + 8x^2 - \frac{32}{3}x^3$