問題は、微分積分学の期末試験の問題用紙です。全部で14問あり、微分、不定積分、定積分、応用問題など、幅広い分野をカバーしています。

1. 問題の内容

問題は、微分積分学の期末試験の問題用紙です。全部で14問あり、微分、不定積分、定積分、応用問題など、幅広い分野をカバーしています。

2. 解き方の手順

問題14を解きます。

問題14は応用問題で、関数 $f(x) = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$ に関する3つの小問があります。

(1) $2f(x) + f'(x)$ を求める。

まず、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{(\cos x + \sin x)(\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2}$

次に、$2f(x) + f'(x)$ を計算します。

$2f(x) + f'(x) = 2 \cdot \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} + \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) + 2}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2(\sin^2 x - \cos^2 x) + 2}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2(\sin^2 x - \cos^2 x + 1)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2(\sin^2 x - \cos^2 x + \sin^2 x + \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2(2 \sin^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{4 \sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2}$

しかし、模範解答は2ですので、計算に間違いがあるかもしれません。確認します。

$f(x) = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$

$f'(x) = \frac{(\cos x + \sin x)(\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x + \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2}$

$2f(x) + f'(x) = 2\frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} + \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{(\sin x + \cos x)^2} + \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2(\sin^2 x - \cos^2 x + 1)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2(\sin^2 x - \cos^2 x + \sin^2 x + \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{4\sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2}$

$2f(x)+f'(x) = 2$ になることを期待しますが、計算が合わない。

$\frac{2(\sin x - \cos x)}{\sin x + \cos x} + \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2}$ となり、両方$\frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x}$を掛けると、

$\frac{2(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{(\sin x + \cos x)^2} + \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2}$

=$\frac{2(\sin^2x - \cos^2 x) + 2}{(\sin x + \cos x)^2}$ =$\frac{2(\sin^2x - (1-\sin^2x) + 1)}{(\sin x + \cos x)^2}$ =$\frac{4\sin^2x}{(\sin x + \cos x)^2}$

(2) $\int f(x) dx$ を求める。

$f(x) = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$

$u = \sin x + \cos x$ と置換すると、$du = (\cos x - \sin x) dx = -(\sin x - \cos x) dx$

したがって、$\int f(x) dx = \int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int \frac{-du}{u} = - \ln |u| + C = - \ln |\sin x + \cos x| + C$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2} dx$ を求める。

(1)より $2f(x) + f'(x) = \frac{4\sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2}$. よって、 $\frac{\sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{1}{4} (2 f(x) + f'(x))$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2} dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2f(x) + f'(x)) dx = \frac{1}{4} [2 \int f(x) dx + f(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2} dx = \frac{1}{4} [-2 \ln |\sin x + \cos x| + f(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4} [-2 \ln |\sin x + \cos x| + \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2} dx = \frac{1}{4} [(-2 \ln 1 + \frac{1-0}{1+0}) - (-2 \ln 1 + \frac{0-1}{0+1})] = \frac{1}{4} [(0+1) - (0-1)] = \frac{1}{4} [1+1] = \frac{1}{2}$

よって、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2} dx = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $2f(x) + f'(x) = \frac{4 \sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2}$

(2) $\int f(x) dx = - \ln |\sin x + \cos x| + C$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2} dx = \frac{1}{2}$