与えられた7つの式について、その値を求める問題です。 (1) $\log_3 9$ (2) $2\log_2 3 - \log_2 18$ (3) $\sin \frac{\pi}{8}$ (5) $\tan (-\frac{\pi}{6})$ (6) $\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}})$ (7) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$

1. 問題の内容

与えられた7つの式について、その値を求める問題です。

(1) $\log_3 9$

(2) $2\log_2 3 - \log_2 18$

(3) $\sin \frac{\pi}{8}$

(5) $\tan (-\frac{\pi}{6})$

(6) $\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}})$

(7) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\log_3 9$

$9 = 3^2$なので、$\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$

(2) $2\log_2 3 - \log_2 18$

$\log$の性質を利用して計算します。

$2\log_2 3 = \log_2 3^2 = \log_2 9$

よって、$2\log_2 3 - \log_2 18 = \log_2 9 - \log_2 18 = \log_2 \frac{9}{18} = \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 2^{-1} = -1$

(3) $\sin \frac{\pi}{8}$

$\sin \frac{\pi}{8}$は、半角の公式を使って計算します。

$\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{4}$ とすると、$\sin^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

$\sin \frac{\pi}{8} > 0$ なので、$\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

(5) $\tan (-\frac{\pi}{6})$

$\tan (-\theta) = -\tan \theta$

$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

よって、$\tan (-\frac{\pi}{6}) = -\tan \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(6) $\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}})$

$\arcsin x$ は $- \frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲の値をとります。

$\sin (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、$\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{\pi}{4}$

(7) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\arccos x$ は $0 \leq \arccos x \leq \pi$ の範囲の値をとります。

$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) -1

(3) $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

(5) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

(6) $-\frac{\pi}{4}$

(7) $\frac{\pi}{6}$