## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

与えられた画像には、微分積分に関する問題が複数あります。ここでは、以下の4つの問題を解きます。

1. $y = \frac{x^2 + 1}{3x + 1}$ を微分する。

2. $\int x^3 e^{x^4 + 3} dx$ を計算する。

3. $\int (x - 1) \sin 2x dx$ を計算する。

4. $\int_{1}^{2} (x^3 - \frac{3}{x}) dx$ を計算する。

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2. 解き方の手順

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1. $y = \frac{x^2 + 1}{3x + 1}$ の微分

商の微分公式を利用します。商の微分公式は、以下の通りです。

$\frac{d}{dx} \left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = x^2 + 1$、$v = 3x + 1$ とすると、$u' = 2x$、$v' = 3$ となります。したがって、

$y' = \frac{(2x)(3x + 1) - (x^2 + 1)(3)}{(3x + 1)^2}$

$y' = \frac{6x^2 + 2x - 3x^2 - 3}{(3x + 1)^2}$

$y' = \frac{3x^2 + 2x - 3}{(3x + 1)^2}$

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2. $\int x^3 e^{x^4 + 3} dx$ の計算

置換積分を行います。$u = x^4 + 3$ とすると、$du = 4x^3 dx$ となります。したがって、$x^3 dx = \frac{1}{4} du$ となります。

$\int x^3 e^{x^4 + 3} dx = \int e^u \frac{1}{4} du$

$= \frac{1}{4} \int e^u du$

$= \frac{1}{4} e^u + C$

$= \frac{1}{4} e^{x^4 + 3} + C$

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3. $\int (x - 1) \sin 2x dx$ の計算

部分積分を行います。部分積分の公式は、以下の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

ここで、$u = x - 1$、$dv = \sin 2x dx$ とすると、$du = dx$、$v = -\frac{1}{2} \cos 2x$ となります。したがって、

$\int (x - 1) \sin 2x dx = (x - 1)\left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) - \int \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) dx$

$= -\frac{1}{2}(x - 1) \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x dx$

$= -\frac{1}{2}(x - 1) \cos 2x + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right) + C$

$= -\frac{1}{2}(x - 1) \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

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4. $\int_{1}^{2} (x^3 - \frac{3}{x}) dx$ の計算

定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} (x^3 - \frac{3}{x}) dx = \left[\frac{x^4}{4} - 3 \ln |x|\right]_{1}^{2}$

$= \left(\frac{2^4}{4} - 3 \ln 2\right) - \left(\frac{1^4}{4} - 3 \ln 1\right)$

$= \left(\frac{16}{4} - 3 \ln 2\right) - \left(\frac{1}{4} - 0\right)$

$= 4 - 3 \ln 2 - \frac{1}{4}$

$= \frac{15}{4} - 3 \ln 2$

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3. 最終的な答え

1. $y' = \frac{3x^2 + 2x - 3}{(3x + 1)^2}$

2. $\int x^3 e^{x^4 + 3} dx = \frac{1}{4} e^{x^4 + 3} + C$

3. $\int (x - 1) \sin 2x dx = -\frac{1}{2}(x - 1) \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

4. $\int_{1}^{2} (x^3 - \frac{3}{x}) dx = \frac{15}{4} - 3 \ln 2$