$n$ を 2 以上の自然数とするとき、関数 $f_n(\theta) = (1 + \cos\theta) \sin^{n-1}\theta$ の $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最大値 $M_n$ を求め、さらに $\lim_{n\to\infty} (M_n)^n$ を求める。

1. 問題の内容

$n$ を 2 以上の自然数とするとき、関数 $f_n(\theta) = (1 + \cos\theta) \sin^{n-1}\theta$ の $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最大値 $M_n$ を求め、さらに $\lim_{n\to\infty} (M_n)^n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f_n(\theta) = (1 + \cos\theta) \sin^{n-1}\theta$ の最大値 $M_n$ を求める。

$f_n(\theta)$ を $\theta$ で微分する。

$f'_n(\theta) = -\sin\theta \sin^{n-1}\theta + (1 + \cos\theta)(n-1)\sin^{n-2}\theta \cos\theta$

$= \sin^{n-2}\theta [-\sin^2\theta + (1 + \cos\theta)(n-1)\cos\theta]$

$= \sin^{n-2}\theta [-1 + \cos^2\theta + (n-1)\cos\theta + (n-1)\cos^2\theta]$

$= \sin^{n-2}\theta [n\cos^2\theta + (n-1)\cos\theta - 1]$

$= \sin^{n-2}\theta (n\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1)$

$f'_n(\theta) = 0$ となる $\theta$ を求める。

$\sin\theta = 0$ は $\theta = 0$ に対応する。このとき $f_n(0) = (1+1)0^{n-1} = 0$ ($n > 1$) である。

$\cos\theta = -1$ は $\theta = \pi$ に対応するが、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲外である。

$n\cos\theta - 1 = 0$ より $\cos\theta = \frac{1}{n}$ となる。

このとき $\sin\theta = \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}$ となる。

$f_n(\theta) = (1 + \frac{1}{n}) (\frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n})^{n-1} = \frac{n+1}{n} (\frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n})^{n-1} = \frac{n+1}{n} (\sqrt{1 - \frac{1}{n^2}})^{n-1} = \frac{n+1}{n} (1 - \frac{1}{n^2})^{\frac{n-1}{2}}$

$M_n = f_n(\arccos\frac{1}{n}) = (1 + \frac{1}{n}) (\sqrt{1 - \frac{1}{n^2}})^{n-1}$

(2) $\lim_{n\to\infty} (M_n)^n$ を求める。

$M_n = \frac{n+1}{n} (1 - \frac{1}{n^2})^{\frac{n-1}{2}}$

$\log (M_n)^n = n \log (\frac{n+1}{n} (1 - \frac{1}{n^2})^{\frac{n-1}{2}})$

$= n [\log (1 + \frac{1}{n}) + \frac{n-1}{2} \log (1 - \frac{1}{n^2})]$

ここで $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$ と $\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$ を用いる。

$\log (1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + O(\frac{1}{n^3})$

$\log (1 - \frac{1}{n^2}) = - \frac{1}{n^2} - \frac{1}{2n^4} + O(\frac{1}{n^6})$

$\frac{n-1}{2} \log (1 - \frac{1}{n^2}) = \frac{n-1}{2} (-\frac{1}{n^2} - \frac{1}{2n^4} + ...) = -\frac{1}{2n} + \frac{1}{2n^2} + O(\frac{1}{n^3})$

$\log (M_n)^n = n [(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + ...) + (-\frac{1}{2n} + \frac{1}{2n^2} + ...)] = n [\frac{1}{2n} + O(\frac{1}{n^3})] = \frac{1}{2} + O(\frac{1}{n^2})$

$\lim_{n\to\infty} \log (M_n)^n = \frac{1}{2}$

$\lim_{n\to\infty} (M_n)^n = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

3. 最終的な答え

(1) $M_n = (1 + \frac{1}{n}) (\sqrt{1 - \frac{1}{n^2}})^{n-1}$

(2) $\lim_{n\to\infty} (M_n)^n = \sqrt{e}$