(1) 関数 $y = \frac{x^2+1}{3x+1}$ を微分せよ。 (2) 不定積分 $\int x^3 e^{x^4+3} dx$ を計算せよ（置換積分を用いる）。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \frac{x^2+1}{3x+1}$ を微分せよ。

(2) 不定積分 $\int x^3 e^{x^4+3} dx$ を計算せよ（置換積分を用いる）。

2. 解き方の手順

(1) 商の微分公式を用いる。商の微分公式は $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$である。

この問題では、$u = x^2 + 1$、$v = 3x+1$ とすると、$u' = 2x$、$v' = 3$ となる。

よって、

$y' = \frac{2x(3x+1) - (x^2+1)3}{(3x+1)^2}$

$y' = \frac{6x^2 + 2x - 3x^2 - 3}{(3x+1)^2}$

$y' = \frac{3x^2 + 2x - 3}{(3x+1)^2}$

(2) 置換積分を用いる。$u = x^4 + 3$ とすると、$\frac{du}{dx} = 4x^3$ より、$du = 4x^3 dx$となる。

したがって、$x^3 dx = \frac{1}{4} du$である。

$\int x^3 e^{x^4+3} dx = \int e^u \frac{1}{4} du$

$= \frac{1}{4} \int e^u du$

$= \frac{1}{4} e^u + C$

$= \frac{1}{4} e^{x^4+3} + C$ (Cは積分定数)

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{3x^2 + 2x - 3}{(3x+1)^2}$

(2) $\int x^3 e^{x^4+3} dx = \frac{1}{4} e^{x^4+3} + C$ (Cは積分定数)