以下の8つの式の値を求める問題です。 (1) $\log_3 9$ (2) $2\log_2 3 - \log_2 18$ (3) $\sin \frac{\pi}{8}$ (4) $\cos(-\frac{\pi}{12})$ (5) $\tan(-\frac{\pi}{6})$ (6) $\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ (7) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$ (8) $\arctan \sqrt{3}$

はい、承知いたしました。問題文に記載されているすべての問題について、順番に解答・解説を行います。

1. 問題の内容

以下の8つの式の値を求める問題です。

(1) $\log_3 9$

(2) $2\log_2 3 - \log_2 18$

(3) $\sin \frac{\pi}{8}$

(4) $\cos(-\frac{\pi}{12})$

(5) $\tan(-\frac{\pi}{6})$

(6) $\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}})$

(7) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$

(8) $\arctan \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) 対数の定義より、$3^x = 9$ となる $x$ を求めます。$9 = 3^2$ なので、$x=2$ です。

(2) 対数の性質を利用します。

$2\log_2 3 - \log_2 18 = \log_2 3^2 - \log_2 18 = \log_2 9 - \log_2 18 = \log_2 \frac{9}{18} = \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 2^{-1} = -1$

(3) 半角の公式を利用します。

$\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{2}$

$\sin \frac{\pi}{8} = \sin \frac{\frac{\pi}{4}}{2}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{4}$ を代入します。

$\sin^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1-\cos \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{4}$

$\sin \frac{\pi}{8} > 0$ なので、

$\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

(4) $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ を利用します。

$\cos(-\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{12})$

$\cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

(5) $\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$ を利用します。

$\tan(-\frac{\pi}{6}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(6) $\arcsin x$ は、$\sin \theta = x$ となる $\theta$ を求める関数です。範囲は$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$です。

$\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ は、$\theta = -\frac{\pi}{4}$です。

(7) $\arccos x$ は、$\cos \theta = x$ となる $\theta$ を求める関数です。範囲は$0 \leq \theta \leq \pi$です。

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{6}$です。

(8) $\arctan x$ は、$\tan \theta = x$ となる $\theta$ を求める関数です。範囲は$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$です。

$\tan \theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}$です。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) -1

(3) $\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

(4) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

(5) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

(6) $-\frac{\pi}{4}$

(7) $\frac{\pi}{6}$

(8) $\frac{\pi}{3}$