与えられた級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{n^2+1}$ が条件収束することを示す問題です。条件収束とは、級数自体は収束するものの、絶対値を取った級数は発散することを意味します。

1. 問題の内容

与えられた級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{n^2+1}$ が条件収束することを示す問題です。条件収束とは、級数自体は収束するものの、絶対値を取った級数は発散することを意味します。

2. 解き方の手順

(1) 交代級数であることの確認と収束性の確認

$\frac{n}{n^2+1}$ は、$n$が大きくなるにつれて単調減少で$0$に近づくことを確認します。

まず、$a_n = \frac{n}{n^2+1}$ とおきます。

このとき、$a_n > 0$ であることは明らかです。

次に、$a_n$ が単調減少であることを示すために、$a_{n+1} - a_n < 0$ を示します。

$a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{(n+1)^2+1} - \frac{n}{n^2+1}$

$= \frac{(n+1)(n^2+1) - n((n+1)^2+1)}{((n+1)^2+1)(n^2+1)}$

$= \frac{(n^3 + n^2 + n + 1) - n(n^2 + 2n + 1 + 1)}{((n+1)^2+1)(n^2+1)}$

$= \frac{n^3 + n^2 + n + 1 - n^3 - 2n^2 - 2n}{((n+1)^2+1)(n^2+1)}$

$= \frac{-n^2 - n + 1}{((n+1)^2+1)(n^2+1)}$

$n \geq 1$ において $-n^2 - n + 1 < 0$ であるため、$a_{n+1} - a_n < 0$ となり、$a_n$ は単調減少です。

また、$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{1+1/n^2} = \frac{0}{1+0} = 0$ です。

したがって、交代級数の定理より、級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{n^2+1}$ は収束します。

(2) 絶対値を取った級数が発散することの確認

次に、$\sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^{n-1} \frac{n}{n^2+1} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}$ が発散することを示します。

$\frac{n}{n^2+1}$ と $\frac{1}{n}$ の比較をします。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n/(n^2+1)}{1/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+1/n^2} = 1$

であるため、比較判定法より、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}$ と $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ の収束・発散は一致します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ は調和級数であり、発散します。

したがって、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}$ も発散します。

(3) まとめ

級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{n^2+1}$ は収束し、その絶対値を取った級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}$ は発散するため、与えられた級数は条件収束します。

3. 最終的な答え

与えられた級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{n^2+1}$ は条件収束する。