画像に写っている問題のうち、以下の問題を解きます。 $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos{\frac{x}{3}} - \sin{2x}) dx$$

1. 問題の内容

画像に写っている問題のうち、以下の問題を解きます。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos{\frac{x}{3}} - \sin{2x}) dx$$

2. 解き方の手順

まず、積分を2つに分けます。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\frac{x}{3}} dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{2x} dx$$

次に、それぞれの積分を計算します。

$\int \cos{\frac{x}{3}} dx$ について、置換積分を行います。 $u = \frac{x}{3}$ とすると、$du = \frac{1}{3}dx$ より $dx = 3du$となります。

したがって、

$$\int \cos{\frac{x}{3}} dx = \int \cos{u} \cdot 3 du = 3 \int \cos{u} du = 3 \sin{u} + C = 3 \sin{\frac{x}{3}} + C$$

次に、$\int \sin{2x} dx$ を計算します。これも置換積分を行います。$v = 2x$ とすると、$dv = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2} dv$ となります。

$$\int \sin{2x} dx = \int \sin{v} \cdot \frac{1}{2} dv = \frac{1}{2} \int \sin{v} dv = -\frac{1}{2} \cos{v} + C = -\frac{1}{2} \cos{2x} + C$$

したがって、

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\frac{x}{3}} dx = [3 \sin{\frac{x}{3}}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 3 \sin{\frac{\pi}{6}} - 3 \sin{0} = 3 \cdot \frac{1}{2} - 0 = \frac{3}{2}$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{2x} dx = [-\frac{1}{2} \cos{2x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2} \cos{\pi} - (-\frac{1}{2} \cos{0}) = -\frac{1}{2} (-1) + \frac{1}{2} (1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

よって、求める積分は、

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos{\frac{x}{3}} - \sin{2x}) dx = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$