## 問題の内容

## 問題の内容

画像にある4つの問題のうち、1番上の右側にある積分問題、すなわち $\int (x-1) \sin 2x dx$ を解きます。この問題は部分積分を使って解く必要があります。

## 解き方の手順

1. **部分積分の公式の確認:** 部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。ここで、$u$ と $v$ は $x$ の関数です。

2. **$u$ と $dv$ の選択:** 今回の場合、$(x-1)$ を微分すると簡単になるので、$u = x-1$ とし、$dv = \sin 2x dx$ とします。

3. **$du$ と $v$ の計算:**

* $u = x-1$ より、$du = dx$

* $dv = \sin 2x dx$ より、$v = \int \sin 2x dx = -\frac{1}{2} \cos 2x$

4. **部分積分の公式への代入:** 公式 $\int u dv = uv - \int v du$ に代入します。

$\int (x-1) \sin 2x dx = (x-1) \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) - \int \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) dx$

$= -\frac{1}{2} (x-1) \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x dx$

5. **残りの積分の計算:** $\int \cos 2x dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C$ (Cは積分定数)

6. **全体の計算:**

$-\frac{1}{2} (x-1) \cos 2x + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right) + C$

$= -\frac{1}{2} (x-1) \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

## 最終的な答え

$\int (x-1) \sin 2x dx = -\frac{1}{2} (x-1) \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$