次の4つのべき級数の収束半径を求める問題です。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{n^2} x^n$ (3) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + 1} x^n$ (4) $\sum_{n=1}^{\infty} (\log n) x^n$

1. 問題の内容

次の4つのべき級数の収束半径を求める問題です。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{n^2} x^n$

(3) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + 1} x^n$

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} (\log n) x^n$

2. 解き方の手順

べき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の収束半径 $R$ は、以下の式で計算できます。

$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{\frac{1}{n}}}$

または、

$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$ (この極限が存在する場合)

(1) $a_n = \frac{n!}{n^n}$ なので、ダランベールの収束判定法を使います。

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n! / n^n}{(n+1)! / (n+1)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n! (n+1)^{n+1}}{(n+1)! n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n (n+1)}{(n+1) n^n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$

したがって、$R=e$

(2) $a_n = (-1)^n \frac{2^n}{n^2}$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n / n^2}{2^{n+1} / (n+1)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n (n+1)^2}{2^{n+1} n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 1}{2n^2} = \frac{1}{2}$

したがって、$R = \frac{1}{2}$

(3) $a_n = \frac{2^n + 1}{3^n + 1}$ なので、

$\lim_{n \to \infty} |a_n|^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} (\frac{2^n + 1}{3^n + 1})^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} (\frac{2^n(1+1/2^n)}{3^n(1+1/3^n)})^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2(1+1/2^n)^{1/n}}{3(1+1/3^n)^{1/n}} = \frac{2}{3}$

したがって、$R = \frac{3}{2}$

(4) $a_n = \log n$ なので、

$\lim_{n \to \infty} |a_n|^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} (\log n)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} e^{\frac{\log (\log n)}{n}} = e^0 = 1$

したがって、$R = 1$

3. 最終的な答え

(1) $e$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{3}{2}$

(4) $1$