## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求める問題です。

1. $\int \frac{1}{(1-x)\sqrt{1+x}} dx$

2. $\int \frac{1}{\sqrt{3x^2+1}} dx$

3. $\int \frac{4}{\sqrt{3x^2-8}} dx$

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2. 解き方の手順

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1. $\int \frac{1}{(1-x)\sqrt{1+x}} dx$**

置換積分を行います。$t = \sqrt{1+x}$とおくと、$t^2 = 1+x$より、$x = t^2 - 1$となります。また、$dx = 2t dt$となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{(1-x)\sqrt{1+x}} dx = \int \frac{1}{(1-(t^2-1))t} 2t dt = \int \frac{2}{2-t^2} dt$

$\frac{2}{2-t^2} = \frac{2}{(\sqrt{2}-t)(\sqrt{2}+t)} = \frac{A}{\sqrt{2}-t} + \frac{B}{\sqrt{2}+t}$とおいて部分分数分解を行うと、$A(\sqrt{2}+t) + B(\sqrt{2}-t) = 2$となります。

$t=\sqrt{2}$のとき、$2\sqrt{2}A = 2$より、$A = \frac{1}{\sqrt{2}}$。

$t=-\sqrt{2}$のとき、$2\sqrt{2}B = 2$より、$B = \frac{1}{\sqrt{2}}$。

したがって、

$\int \frac{2}{2-t^2} dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \left( \frac{1}{\sqrt{2}-t} + \frac{1}{\sqrt{2}+t} \right) dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( -\ln|\sqrt{2}-t| + \ln|\sqrt{2}+t| \right) + C$

$= \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \frac{\sqrt{2}+t}{\sqrt{2}-t} \right| + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \frac{\sqrt{2}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{2}-\sqrt{1+x}} \right| + C$

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2. $\int \frac{1}{\sqrt{3x^2+1}} dx$**

$x = \frac{1}{\sqrt{3}}\sinh(u)$ と置換すると、$dx = \frac{1}{\sqrt{3}}\cosh(u) du$ となります。

$\sqrt{3x^2 + 1} = \sqrt{\sinh^2(u) + 1} = \sqrt{\cosh^2(u)} = \cosh(u)$

$\int \frac{1}{\sqrt{3x^2+1}} dx = \int \frac{1}{\cosh(u)} \frac{1}{\sqrt{3}}\cosh(u) du = \frac{1}{\sqrt{3}}\int du = \frac{1}{\sqrt{3}}u + C = \frac{1}{\sqrt{3}}\sinh^{-1}(\sqrt{3}x) + C$

$\sinh^{-1}(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+1})$より、$\frac{1}{\sqrt{3}}\ln(\sqrt{3}x+\sqrt{3x^2+1}) + C$

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3. $\int \frac{4}{\sqrt{3x^2-8}} dx$**

$x = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cosh(u)$ と置換すると、$dx = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sinh(u) du$ となります。

$\sqrt{3x^2 - 8} = \sqrt{3(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^2 \cosh^2(u) - 8} = \sqrt{8\cosh^2(u) - 8} = \sqrt{8(\cosh^2(u) - 1)} = \sqrt{8\sinh^2(u)} = 2\sqrt{2}\sinh(u)$

$\int \frac{4}{\sqrt{3x^2-8}} dx = \int \frac{4}{2\sqrt{2}\sinh(u)} \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sinh(u) du = \frac{4}{\sqrt{3}} \int du = \frac{4}{\sqrt{3}} u + C = \frac{4}{\sqrt{3}} \cosh^{-1}(\frac{\sqrt{3}x}{2\sqrt{2}}) + C$

$\cosh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2-1})$より、$\frac{4}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\sqrt{3}x}{2\sqrt{2}} + \sqrt{\frac{3x^2}{8} - 1}) + C = \frac{4}{\sqrt{3}}\ln(\sqrt{3}x + \sqrt{3x^2-8}) + C'$ (定数項を吸収)

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3. 最終的な答え

1. $\int \frac{1}{(1-x)\sqrt{1+x}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \frac{\sqrt{2}+\sqrt{1+x}}{\sqrt{2}-\sqrt{1+x}} \right| + C$

2. $\int \frac{1}{\sqrt{3x^2+1}} dx = \frac{1}{\sqrt{3}}\ln(\sqrt{3}x+\sqrt{3x^2+1}) + C$

3. $\int \frac{4}{\sqrt{3x^2-8}} dx = \frac{4}{\sqrt{3}}\ln(\sqrt{3}x + \sqrt{3x^2-8}) + C$